ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.43 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В правильной призме \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\) сторона основания и боковое ребро равны соответственно 1 см и \( \sqrt{3} \) см. Найдите наименьшее расстояние между точками \(A\) и \(C_1\) по поверхности призмы.

Дано правильная призма с основанием стороны \( \sqrt{3} \) см и боковым ребром 1 см. Нужно найти наименьшее расстояние по поверхности между точками \( A \) и \( C_1 \).

Расстояние по поверхности равно длине отрезка \( AC_1 \) на развертке призмы.

Используем формулу расстояния в пространстве:

\( AC_1 = \sqrt{AB^2 + BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 3 + 1} = \sqrt{7} \) см.

Ответ: \( \sqrt{7} \) см.

Правильная призма имеет основание в виде квадрата со стороной \( \sqrt{3} \) см и высоту (боковое ребро) равную 1 см. Точки \( A \) и \( C_1 \) находятся на разных гранях призмы: \( A \) — на нижнем основании, а \( C_1 \) — на верхнем основании, смещённом относительно нижнего. Для нахождения кратчайшего расстояния между этими точками по поверхности призмы нужно развернуть её боковые грани в плоскость и найти прямое расстояние между этими точками на развертке.

На развертке призмы боковые грани раскрываются так, что точка \( C_1 \) оказывается на некотором расстоянии от точки \( A \), которое можно вычислить с помощью теоремы Пифагора в трёх измерениях, учитывая смещения по осям основания и высоту призмы. Расстояние \( AC_1 \) в пространстве равно длине вектора с координатами, соответствующими смещениям по осям основания и высоте. Эти смещения равны стороне основания \( \sqrt{3} \), другой стороне основания \( \sqrt{3} \) и высоте 1.

Таким образом, длину отрезка \( AC_1 \) можно найти по формуле \( AC_1 = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 3 + 1} = \sqrt{7} \) см. Это и есть минимальное расстояние по поверхности между точками \( A \) и \( C_1 \).