ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.44 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В правильной призме \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\) сторона основания и боковое ребро равны соответственно 1 см и \( \sqrt{3} \) см. Найдите наименьшее расстояние между точками \(A\) и \(C_1\) по поверхности призмы.

В правильной призме сторона основания равна 2 см, боковое ребро равно \( \sqrt{3} \) см.

Расстояние между точками \( B \) и \( D_1 \) по поверхности призмы равно длине отрезка \( BD_1 \).

В пространстве \( B = (2, 0, 0) \), \( D_1 = (0, 2, \sqrt{3}) \).

Расстояние \( BD_1 = \sqrt{(2-0)^2 + (0-2)^2 + (0-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 + 3} = \sqrt{11} \) см.

Ответ: \( \sqrt{11} \) см.

Призма правильная, значит основание — квадрат со стороной \( AB = 2 \) см, а боковое ребро \( AA_1 = \sqrt{3} \) см. Точки \( B \) и \( D_1 \) находятся на разных основаниях: \( B \) — на нижнем, \( D_1 \) — на верхнем. Для нахождения кратчайшего расстояния по поверхности призмы между этими точками нужно развернуть боковую поверхность так, чтобы путь от \( B \) до \( D_1 \) был прямым отрезком на плоскости.

Рассмотрим координаты точек в трехмерном пространстве, положив \( A \) в начало координат: \( A = (0;0;0) \). Тогда \( B = (2;0;0) \), так как сторона основания равна 2 см. Точка \( D \), противоположная \( B \) в основании, будет \( D = (0;2;0) \). Верхняя точка \( D_1 \) находится над \( D \) на высоте \( \sqrt{3} \), значит \( D_1 = (0;2;\sqrt{3}) \).

Расстояние между точками \( B \) и \( D_1 \) в пространстве вычисляется по формуле расстояния между двумя точками: \( BD_1 = \sqrt{(2-0)^2 + (0-2)^2 + (0-\sqrt{3})^2} \). Подставляя значения, получаем \( BD_1 = \sqrt{4 + 4 + 3} = \sqrt{11} \). Это и есть минимальное расстояние по поверхности призмы между \( B \) и \( D_1 \).

Ответ: \( \sqrt{11} \) см.