ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.45 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) — середина ребра \(BC\) правильной призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\). Известно, что \(AB = a\), \(AA_1 = b\). Найдите наименьшее расстояние между точками \(A\) и \(M\) по поверхности призмы.

Точка \(M\) — середина ребра \(BC\) правильной призмы с основанием равносторонним треугольником, где \(AB = a\), высота призмы \(AA_1 = b\).

Расстояние по поверхности \(p(A, M)\) равно длине кратчайшего пути, проходящего по граням призмы.

Если \(a \sqrt{3} \leq b\), то
\(p = \sqrt{\frac{4b^2 + 9a^2}{2}}\).

Если \(a \sqrt{3} > b\), то
\(p = \sqrt{\frac{4b^2 + 3a^2 + 2ab \sqrt{3}}{2}}\).

Точка \(M\) является серединой ребра \(BC\) правильной треугольной призмы с основанием равносторонним треугольником, у которого сторона \(AB = a\), а высота призмы равна \(b\). Задача состоит в нахождении наименьшего расстояния по поверхности призмы между точками \(A\) и \(M\). Это расстояние — минимальная длина пути, который можно пройти, двигаясь только по граням призмы, то есть без прохода через внутреннее пространство.

Для решения задачи нужно рассмотреть разные варианты развертки поверхности призмы и определить, какой путь будет короче. Если высота призмы \(b\) достаточно велика по сравнению с длиной стороны основания \(a\), то кратчайший путь будет проходить по двум боковым граням и одной из оснований. В этом случае условие \(a \sqrt{3} \leq b\) означает, что высота призмы больше или равна высоте равностороннего треугольника, построенного на стороне \(a\). Тогда расстояние между точками \(A\) и \(M\) по поверхности равно \(p = \sqrt{\frac{4b^2 + 9a^2}{2}}\).

Если же высота призмы меньше, чем \(a \sqrt{3}\), то есть \(a \sqrt{3} > b\), кратчайший путь будет проходить иначе, учитывая более короткое расстояние по основанию и боковым граням. В этом случае длина пути вычисляется по формуле \(p = \sqrt{\frac{4b^2 + 3a^2 + 2ab \sqrt{3}}{2}}\). Эта формула учитывает геометрические особенности развертки поверхности призмы и длины ребер, по которым проходит минимальный путь.

Таким образом, искомое расстояние по поверхности между точками \(A\) и \(M\) определяется сравнением величин \(a \sqrt{3}\) и \(b\) и вычисляется по одной из двух формул: