ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.46 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Все грани выпуклого многогранника являются правильными пятиугольниками или правильными шестиугольниками. Найдите количество граней, являющихся пятиугольниками.

Пусть количество пятиугольников равно \(x\), а шестиугольников — \(y\).

Количество рёбер \(E = \frac{5x + 6y}{2}\), количество вершин \(V = \frac{5x + 6y}{3}\), количество граней \(F = x + y\).

По формуле Эйлера \(V — E + F = 2\), подставляем:

\(\frac{5x + 6y}{3} — \frac{5x + 6y}{2} + x + y = 2\).

Приводим к общему знаменателю и упрощаем:

\(\frac{2(5x + 6y)}{6} — \frac{3(5x + 6y)}{6} + x + y = 2\),

\(\frac{10x + 12y — 15x — 18y}{6} + x + y = 2\),

\(\frac{-5x — 6y}{6} + x + y = 2\),

\(\frac{6(x + y) — (5x + 6y)}{6} = 2\),

\(\frac{6x + 6y — 5x — 6y}{6} = 2\),

\(\frac{x}{6} = 2\),

откуда \(x = 12\).

Ответ: 12 пятиугольников.

Рассмотрим многогранник, у которого все грани — правильные пятиугольники или правильные шестиугольники. Обозначим количество пятиугольных граней через \(x\), а количество шестиугольных граней через \(y\). Нам необходимо найти \(x\).

Каждая грань имеет определённое количество рёбер: у пятиугольника — 5, у шестиугольника — 6. Поскольку каждое ребро принадлежит ровно двум граням, общее число рёбер \(E\) можно вычислить как половину суммы всех рёбер всех граней, то есть \(E = \frac{5x + 6y}{2}\).

Также каждая вершина многогранника является точкой пересечения ровно трёх граней, так как многогранник выпуклый и все грани правильные. Значит, количество вершин \(V\) равно одной трети от суммы всех углов граней, что можно выразить как \(V = \frac{5x + 6y}{3}\). Количество граней равно \(F = x + y\).

Согласно формуле Эйлера для выпуклого многогранника, верно равенство \(V — E + F = 2\). Подставим в это выражение найденные формулы для \(V\), \(E\) и \(F\):

\(\frac{5x + 6y}{3} — \frac{5x + 6y}{2} + x + y = 2\).

Для удобства вычислений приведём левую часть к общему знаменателю 6:

\(\frac{2(5x + 6y)}{6} — \frac{3(5x + 6y)}{6} + x + y = 2\).

Раскроем скобки и упростим числители:

\(\frac{10x + 12y — 15x — 18y}{6} + x + y = 2\).

Сложим и упростим числитель:

\(\frac{-5x — 6y}{6} + x + y = 2\).

Приведём \(x + y\) к дробному виду с общим знаменателем 6:

\(\frac{-5x — 6y}{6} + \frac{6x + 6y}{6} = 2\).

Сложим дроби:

\(\frac{-5x — 6y + 6x + 6y}{6} = 2\).

Упростим числитель:

\(\frac{x}{6} = 2\).

Домножим обе части на 6:

\(x = 12\).

Таким образом, количество пятиугольных граней равно 12.