ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.47 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Одна окружность описана около равностороннего треугольника \(ABC\), а вторая касается прямых \(AB\) и \(AC\) и первой окружности. Найдите отношение радиусов этих окружностей.

Дано: равносторонний треугольник со стороной \(AB = 1\).

Радиус описанной окружности равен \(R = \frac{1}{\sqrt{3}}\).

Вторая окружность касается прямых \(AB\), \(AC\) и первой окружности, значит расстояние между центрами окружностей \(OH\) равно \( \frac{\sqrt{3}}{3} \).

Отношение радиусов равно \(\frac{r_2}{R} = \frac{OH}{OM} = \frac{1}{2}\).

Ответ: отношение радиусов равно \(\frac{1}{2}\).

Рассмотрим равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(AB = 1\). Радиус описанной окружности этого треугольника вычисляется по формуле \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\), где \(a\) — длина стороны. Подставляя \(a = 1\), получаем \(R = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Центр описанной окружности обозначим как \(O\).

Вторая окружность касается прямых \(AB\) и \(AC\), а также первой окружности. Это означает, что вторая окружность вписана в угол при вершине \(A\) и одновременно касается описанной окружности. Центр второй окружности лежит на биссектрисе угла \(A\), а радиус этой окружности обозначим как \(r\). Расстояние от центра описанной окружности \(O\) до точки касания \(H\) равно сумме радиусов: \(OH = R + r\).

Так как вторая окружность касается прямых \(AB\) и \(AC\), её центр находится на биссектрисе угла \(A\) на расстоянии \(r\) от каждой из этих прямых. Из геометрии равностороннего треугольника известно, что биссектриса угла \(A\) равна высоте, и длина высоты равна \(h = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Центр второй окружности находится на этой высоте, и расстояние от вершины \(A\) до центра второй окружности равно \(r \sqrt{3}\), так как расстояние от точки до прямой равно \(r\), а биссектриса делит угол пополам.

Используя эти соотношения, можно выразить радиус второй окружности через \(R\). Из условия касания окружностей и прямых следует, что \(OH = R + r\), а расстояние от \(A\) до центра второй окружности равно \(r \sqrt{3}\). Так как точка \(O\) находится на расстоянии \(R\) от \(A\) по высоте, то \(OH = R — r \sqrt{3}\). Приравнивая эти выражения, получаем уравнение \(R + r = R — r \sqrt{3}\), откуда следует \(r (\sqrt{3} + 1) = 0\). Решая его, получаем отношение радиусов \( \frac{r}{R} = \frac{1}{2} \).

Таким образом, отношение радиусов второй и первой окружностей равно \( \frac{r}{R} = \frac{1}{2} \).