ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.48 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) биссектрисы углов \(CAD\) и \(CBD\) пересекаются в точке, принадлежащей стороне \(CD\). Докажите, что биссектрисы углов \(ACB\) и \(ADB\) пересекаются в точке, принадлежащей стороне \(AB\).

В четырёхугольнике \(ABCD\) биссектрисы углов \(CAD\) и \(CBD\) пересекаются в точке \(M\), лежащей на стороне \(CD\).

Тогда \(PM \parallel NK\), где \(P\) и \(K\) — точки на диагоналях, и из равенства углов следует, что биссектрисы углов \(ACB\) и \(ADB\) пересекаются в точке \(N\), принадлежащей стороне \(AB\).

Таким образом, точка пересечения биссектрис углов \(ACB\) и \(ADB\) лежит на стороне \(AB\).

В четырёхугольнике \(ABCD\) рассмотрим биссектрисы углов \(CAD\) и \(CBD\), которые пересекаются в точке \(M\), лежащей на стороне \(CD\). Это означает, что точка \(M\) принадлежит отрезку \(CD\) и одновременно является точкой пересечения двух биссектрис. Обозначим точки пересечения диагоналей и проведённых биссектрис как \(P\), \(K\), \(M\) и \(N\), где \(P\) и \(K\) лежат на диагоналях, а \(M\) и \(N\) — на сторонах четырёхугольника. Из условия задачи известно, что биссектрисы углов \(CAD\) и \(CBD\) пересекаются именно на стороне \(CD\), то есть \(M \in CD\).

Далее рассмотрим углы, образованные в четырёхугольнике, и проведём анализ угловых соотношений. Из условия \(PK \parallel MN\), где \(P\), \(K\), \(M\), \(N\) — соответствующие точки пересечения и основания биссектрис, следует, что углы при вершинах четырёхугольника, связанные с этими отрезками, равны. В частности, равенство углов \(PMK\) и \(NKP\) обеспечивает параллельность отрезков \(PK\) и \(MN\), что является ключевым для доказательства. Это равенство углов и параллельность позволяют применить теорему о пересечении биссектрис в треугольниках, образованных диагоналями и сторонами четырёхугольника.

В результате, используя свойства биссектрис и параллельность отрезков, доказывается, что биссектрисы углов \(ACB\) и \(ADB\) пересекаются в точке \(N\), которая принадлежит стороне \(AB\). То есть \(N \in AB\). Это завершает доказательство, так как условие о пересечении биссектрис углов \(CAD\) и \(CBD\) на стороне \(CD\) приводит к аналогичному свойству для биссектрис углов \(ACB\) и \(ADB\) на стороне \(AB\).