ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через диагональ \(AC\) основания правильной призмы \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\) проведена плоскость, образующая с плоскостью \(ABC\) угол \(45^\circ\) и пересекающая ребро \(BB_1\) в точке \(M\) (рис. 19.24). Найдите площадь образовавшегося сечения призмы, если сторона её основания равна 8 см.

Диагональ основания \(AC = 8 \sqrt{2}\) см.

Площадь сечения равна \(S = \frac{1}{2} \times AC \times h = \frac{1}{2} \times 8 \sqrt{2} \times 8 = 32 \sqrt{2}\) см².

Правильная призма имеет основание в виде квадрата со стороной 8 см. Диагональ квадрата \(AC\) вычисляется по формуле \(AC = a \sqrt{2}\), где \(a = 8\) см — длина стороны квадрата. Тогда \(AC = 8 \sqrt{2}\) см. Эта диагональ является одной из линий, через которые проходит искомая плоскость сечения.

Плоскость проходит через диагональ основания \(AC\) и точку \(M\) на ребре \(BB_1\). Из условия, угол между плоскостью и основанием равен 45 градусов. Это означает, что высота точки \(M\) над основанием связана с длиной диагонали \(AC\) углом наклона. Высота призмы равна 8 см, так как ребро \(BB_1\) перпендикулярно основанию и равно стороне квадрата. Следовательно, высота точки \(M\) равна 8 см.

Площадь сечения, образованного плоскостью через \(AC\) и \(M\), представляет собой треугольник с основанием \(AC\) и высотой, равной высоте призмы \(h = 8\) см. Площадь треугольника вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{2} \times AC \times h\). Подставляя значения, получаем \(S = \frac{1}{2} \times 8 \sqrt{2} \times 8 = 32 \sqrt{2}\) см². Это и есть площадь искомого сечения.