ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна \(a\), а угол между диагональю призмы и боковой гранью равен \(30^\circ\). Найдите: 1) высоту призмы; 2) угол между диагональю призмы и плоскостью основания.

Диагональ основания \(DD_1 = a \sqrt{2}\).

1) Обозначим высоту призмы через \(h\). Диагональ призмы образует с боковой гранью угол \(30^\circ\). Рассмотрим треугольник, образованный диагональю основания \(a \sqrt{2}\), высотой \(h\) и диагональю призмы. Тогда угол между диагональю призмы и боковой гранью — это угол между диагональю призмы и диагональю основания, равный \(30^\circ\).

Из тригонометрии: \(\cos 30^\circ = \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{(a \sqrt{2})^2 + h^2}} = \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{2a^2 + h^2}}\).

Отсюда \(\sqrt{2a^2 + h^2} = \frac{a \sqrt{2}}{\cos 30^\circ} = \frac{a \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2 a \sqrt{2}}{\sqrt{3}}\).

Возводим в квадрат: \(2a^2 + h^2 = \frac{8 a^2}{3}\).

Отсюда \(h^2 = \frac{8 a^2}{3} — 2 a^2 = \frac{8 a^2 — 6 a^2}{3} = \frac{2 a^2}{3}\).

Значит, \(h = a \sqrt{\frac{2}{3}}\).

2) Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен углу между диагональю призмы и её проекцией на основание, то есть \(\angle B_1 D B = 45^\circ\).

Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат со стороной \(a\). Диагональ основания равна \(a \sqrt{2}\), так как диагональ квадрата вычисляется по формуле \(a \sqrt{2}\). Диагональ призмы — это отрезок, соединяющий противоположные вершины основания и верхнего основания, например, \(D\) и \(D_1\). Она образует с боковой гранью угол \(30^\circ\). Для определения высоты призмы \(h\) рассмотрим треугольник, образованный диагональю основания, высотой призмы и диагональю призмы.

Диагональ призмы — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами: диагональ основания \(a \sqrt{2}\) и высота \(h\). Из условия, угол между диагональю призмы и боковой гранью равен \(30^\circ\), этот угол совпадает с углом между диагональю призмы и диагональю основания. По определению косинуса угла в треугольнике имеем: \(\cos 30^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{(a \sqrt{2})^2 + h^2}}\).

Подставим значения и упростим выражение: \(\cos 30^\circ = \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{2 a^{2} + h^{2}}}\). Известно, что \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), значит \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{2 a^{2} + h^{2}}}\). Отсюда \(\sqrt{2 a^{2} + h^{2}} = \frac{2 a \sqrt{2}}{\sqrt{3}}\). Возведём обе части в квадрат: \(2 a^{2} + h^{2} = \frac{8 a^{2}}{3}\).

Вычислим \(h^2\): \(h^{2} = \frac{8 a^{2}}{3} — 2 a^{2} = \frac{8 a^{2} — 6 a^{2}}{3} = \frac{2 a^{2}}{3}\). Значит, высота призмы равна \(h = a \sqrt{\frac{2}{3}}\).

Для второго пункта: угол между диагональю призмы и плоскостью основания — это угол между диагональю призмы и её проекцией на основание, то есть угол между диагональю призмы \(D D_1\) и диагональю основания \(D B\). Этот угол равен \(45^\circ\), что соответствует углу \(\angle B_1 D B = 45^\circ\).