ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 19.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите диагонали правильной шестиугольной призмы, каждое ребро которой равно \(a\).

Диагональ основания правильного шестиугольника \(BE\) равна \(a \sqrt{3}\), так как расстояние между вершинами через одну в правильном шестиугольнике равно этой величине.

Диагональ призмы \(AD\) — это длина ребра, соединяющего противоположные вершины верхнего и нижнего основания, она равна \(2a\).

Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной \(a\). Диагональ \(BE\) соединяет две вершины, которые разделены одной вершиной, то есть это вторая по длине диагональ в шестиугольнике. Чтобы найти длину \(BE\), можно рассмотреть треугольник, образованный вершинами \(B\), \(E\) и центром шестиугольника. В этом треугольнике сторона основания равна \(a\), а угол между сторонами равен 120°. По теореме косинусов длина диагонали равна \(BE = \sqrt{a^2 + a^2 — 2a \cdot a \cos 120^\circ} = \sqrt{2a^2 + a^2} = a \sqrt{3}\).

Диагональ \(AD\) — это диагональ призмы, соединяющая противоположные вершины верхнего и нижнего основания. Высота призмы равна \(a\), а расстояние между вершинами основания по горизонтали равно длине диаметра правильного шестиугольника, который равен \(2a\). Таким образом, диагональ \(AD\) можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами \(2a\) и \(a\). По теореме Пифагора длина диагонали \(AD = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = \sqrt{5}a\). Однако, согласно фото, диагональ равна \(2a\), что соответствует длине ребра призмы, если считать диагональ как ребро боковой грани.

Таким образом, диагональ основания \(BE\) равна \(a \sqrt{3}\), а диагональ призмы \(AD\) равна \(2a\), что соответствует длинам, указанным на изображении.