ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 2.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите ошибку на рисунке 2.5, если известно, что вершина \( D \) четырёхугольника \( ABCD \) лежит в плоскости \( \alpha \), вершины \( A, B \) и \( C \) не лежат в этой плоскости, прямая \( AB \) пересекает плоскость \( \alpha \) в точке \( E \), прямая \( BC \) — в точке \( F \). Выполните правильный рисунок.

Точки \(E, D\) и \(F\) лежат в плоскости \(\alpha\), следовательно, они должны принадлежать одной прямой.

Вершина \(D\) лежит в плоскости \(\alpha\), а \(E\) и \(F\) — точки пересечения прямых \(AB\) и \(BC\) с плоскостью \(\alpha\).

Значит, точки \(E, D, F\) коллинеарны, то есть лежат на одной прямой. На рисунке это нарушено.

Правильный рисунок: точки \(E, D, F\) расположены на одной прямой в плоскости \(\alpha\), а точки \(A, B, C\) — вне этой плоскости.

1. Вершина \(D\) четырёхугольника \(ABCD\) лежит в плоскости \(\alpha\), значит \(D \in \alpha\).

2. Вершины \(A, B, C\) не лежат в плоскости \(\alpha\), то есть \(A, B, C \notin \alpha\).

3. Прямая \(AB\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(E\), значит \(E = AB \cap \alpha\).

4. Прямая \(BC\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(F\), значит \(F = BC \cap \alpha\).

5. Так как точки \(E\) и \(F\) лежат в плоскости \(\alpha\), и \(D \in \alpha\), то точки \(E, D, F\) принадлежат плоскости \(\alpha\).

6. Точки \(E\) и \(F\) лежат на прямых \(AB\) и \(BC\) соответственно, которые пересекаются в точке \(B\), значит точки \(E, B, F\) коллинеарны.

7. Поскольку \(D \in \alpha\), и \(E, F \in \alpha\), а \(D\) является вершиной четырёхугольника \(ABCD\), то \(D\) должен лежать на прямой, проходящей через \(E\) и \(F\).

8. Следовательно, точки \(E, D, F\) лежат на одной прямой в плоскости \(\alpha\).

9. Если на рисунке точки \(E, D, F\) не лежат на одной прямой, то рисунок построен с ошибкой.

10. Правильный рисунок должен показывать \(E, D, F\) коллинеарными в плоскости \(\alpha\), а \(A, B, C\) — вне плоскости \(\alpha\).