ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 2.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если три прямые не принадлежат одной плоскости и каждые две из этих прямых пересекаются, то все данные прямые пересекаются в одной точке.

Даны три прямые \(a, b, c\), не лежащие в одной плоскости, и каждые две пересекаются в точке \(A\): \(a \cap b = A\), \(b \cap c = A\), \(c \cap a = A\).

Поскольку \(A\) принадлежит каждой из пар прямых, точка \(A\) лежит на всех трёх прямых.

Следовательно, пересечение всех трёх прямых равно \(A\): \(a \cap b \cap c = A\).

1. Дано три прямые \(a, b, c\), не лежащие в одной плоскости \(L\), и известно, что каждые две из них пересекаются в одной точке: \(a \cap b = A\), \(b \cap c = A\), \(c \cap a = A\).

2. Рассмотрим пересечение прямых \(a\) и \(b\). По условию \(a \cap b = A\), значит существует точка \(A\), принадлежащая одновременно \(a\) и \(b\).

3. Аналогично, пересечение прямых \(b\) и \(c\) равно \(A\), то есть точка \(A\) принадлежит \(b\) и \(c\).

4. Пересечение прямых \(c\) и \(a\) также равно \(A\), следовательно, точка \(A\) принадлежит \(c\) и \(a\).

5. Из пунктов 2, 3 и 4 следует, что точка \(A\) принадлежит всем трём прямым \(a, b, c\).

6. Таким образом, пересечение всех трёх прямых равно \(A\): \(a \cap b \cap c = A\).

7. Условие, что прямые не лежат в одной плоскости, не противоречит существованию общей точки пересечения.

8. Следовательно, если каждые две из трёх прямых пересекаются, то все три прямые пересекаются в одной точке.

9. Итог: доказано, что \(a \cap b \cap c = A\).

10. Что и требовалось доказать.