ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 2.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямая \( a \) принадлежит плоскости \( \alpha \), а точка \( F \) — плоскости \( \beta \) (рис. 2.8). Постройте прямую, по которой плоскость, проходящая через прямую \( a \) и точку \( F \), пересекает плоскость \( \beta \).

Плоскость, проходящая через прямую \(a\) и точку \(F\), обозначим как \(\gamma\).

Прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\alpha\), точка \(F\) принадлежит плоскости \(\beta\).

Пересечение плоскостей \(\gamma\) и \(\beta\) — прямая, проходящая через точку \(F\) и точку пересечения прямой \(a\) с плоскостью \(\beta\).

Обозначим точку пересечения прямой \(a\) и плоскости \(\beta\) как \(B\).

Тогда искомая прямая — \(FB\).

1. Пусть прямая \(a\) задана точками \(A\) и \(B\), причем \(a \subset \alpha\).

2. Точка \(F\) принадлежит плоскости \(\beta\), то есть \(F \in \beta\).

3. Через прямую \(a\) и точку \(F\) можно провести единственную плоскость \(\gamma\), такую что \(a \subset \gamma\) и \(F \in \gamma\).

4. Плоскость \(\gamma\) пересекает плоскость \(\beta\) по некоторой прямой, обозначим её \(l\).

5. Так как \(F \in \beta\) и \(F \in \gamma\), то точка \(F\) принадлежит прямой \(l\).

6. Для нахождения второй точки на прямой \(l\) найдём точку пересечения прямой \(a\) с плоскостью \(\beta\).

7. Обозначим точку пересечения \(a \cap \beta\) как \(B\).

8. Тогда прямая \(l\), являющаяся пересечением плоскостей \(\gamma\) и \(\beta\), проходит через точки \(F\) и \(B\).

9. Следовательно, искомая прямая пересечения — это прямая \(FB\).

10. Итог: прямая пересечения плоскости, проходящей через прямую \(a\) и точку \(F\), с плоскостью \(\beta\) равна \(FB\).