ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 2.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямая \( a \) принадлежит плоскости \( \alpha \), а точка \( F \) — плоскости \( \beta \) (рис. 2.8). Постройте прямую, по которой плоскость, проходящая через прямую \( a \) и точку \( F \), пересекает плоскость \( \beta \).

Даны плоскости \(\alpha, \beta, \gamma\) с пересечениями \(a = \alpha \cap \beta\), \(b = \beta \cap \gamma\), \(c = \alpha \cap \gamma\).

Если \(a \cap b = A\), то точка \(A\) принадлежит и \(\alpha\), и \(\beta\), и \(\gamma\).

Следовательно, \(A \in \alpha \cap \gamma = c\).

Значит, третья прямая \(c\) проходит через точку \(A\).

1. Пусть даны три плоскости \(\alpha, \beta, \gamma\), каждая из которых пересекается с двумя другими. Обозначим линии их пересечений как \(a = \alpha \cap \beta\), \(b = \beta \cap \gamma\), \(c = \alpha \cap \gamma\).

2. Предположим, что две из этих прямых, например \(a\) и \(b\), пересекаются в точке \(A\), то есть \(a \cap b = A\).

3. По определению пересечения прямых \(a\) и \(b\), точка \(A\) принадлежит обеим прямым, следовательно, \(A \in a\) и \(A \in b\).

4. Так как \(a = \alpha \cap \beta\), то \(A \in \alpha\) и \(A \in \beta\).

5. Аналогично, так как \(b = \beta \cap \gamma\), то \(A \in \beta\) и \(A \in \gamma\).

6. Из пунктов 4 и 5 следует, что \(A\) принадлежит всем трём плоскостям одновременно: \(A \in \alpha\), \(A \in \beta\), \(A \in \gamma\).

7. Рассмотрим третью прямую \(c = \alpha \cap \gamma\). Поскольку \(A\) принадлежит и \(\alpha\), и \(\gamma\), то \(A \in c\).

8. Таким образом, точка пересечения двух прямых \(a\) и \(b\) лежит на третьей прямой \(c\).

9. Следовательно, если \(a \cap b = A\), то \(A \in c\).

10. Итог: если три плоскости пересекаются попарно, и две линии их пересечения пересекаются в точке \(A\), то третья линия пересечения также проходит через точку \(A\).