ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 2.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В четырёхугольнике \( ABCD \) стороны \( AB \) и \( CD \) непараллельны, \( X \) — произвольная точка, не принадлежащая плоскости четырёхугольника. Докажите, что при любом выборе точки \( X \) прямая пересечения плоскостей \( XAB \) и \( XCD \) проходит через некоторую фиксированную точку.

Так как \(AB\) и \(CD\) непараллельны, они пересекаются в точке \(P = AB \cap CD\).

Плоскости \(XAB\) и \(XCD\) обе содержат точку \(X\) и соответственно линии \(AB\) и \(CD\).

Прямая пересечения этих плоскостей проходит через точку \(X\) и пересечение \(P\).

Следовательно, при любом выборе точки \(X\) прямая пересечения плоскостей \(XAB\) и \(XCD\) проходит через фиксированную точку \(P\).

1. Пусть \(AB\) и \(CD\) — стороны четырёхугольника \(ABCD\), которые не параллельны. Значит, они пересекаются в точке \(P\), то есть \(P = AB \cap CD\).

2. Рассмотрим произвольную точку \(X\), не лежащую в плоскости четырёхугольника \(ABCD\).

3. Построим плоскость \(XAB\), которая проходит через точки \(X\), \(A\) и \(B\).

4. Аналогично построим плоскость \(XCD\), проходящую через точки \(X\), \(C\) и \(D\).

5. Так как \(P\) лежит на обеих прямых \(AB\) и \(CD\), то точка \(P\) принадлежит и плоскости \(XAB\), и плоскости \(XCD\).

6. Пересечение двух плоскостей \(XAB\) и \(XCD\) — это прямая, которая содержит точку \(X\) и точку \(P\).

7. Таким образом, прямая пересечения плоскостей \(XAB\) и \(XCD\) есть прямая \(XP\).

8. При любом выборе точки \(X\) эта прямая всегда проходит через фиксированную точку \(P\).

9. Следовательно, прямая пересечения плоскостей \(XAB\) и \(XCD\) при любом \(X\) проходит через одну и ту же точку \(P\).

10. Доказано, что существует фиксированная точка \(P\), через которую проходит прямая пересечения плоскостей \(XAB\) и \(XCD\) для любого выбора \(X\).