ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 2.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Центр \( O \) и хорда \( AB \) окружности лежат в некоторой плоскости. Лежит ли в этой плоскости любая точка данной окружности?

Центр окружности \(O\) и хорда \(AB\) лежат в одной плоскости, так как через две точки \(A\) и \(B\) и точку \(O\) можно провести единственную плоскость.

Любая точка окружности лежит на расстоянии радиуса от центра \(O\), следовательно, все точки окружности принадлежат этой же плоскости.

Таким образом, любая точка окружности лежит в плоскости, заданной точками \(O\), \(A\) и \(B\).

1. Пусть \(O\) — центр окружности, \(A\) и \(B\) — точки на окружности, а \(AB\) — хорда. По условию \(O\), \(A\) и \(B\) лежат в одной плоскости.

2. Через любые три неколлинеарные точки, в частности через \(O\), \(A\) и \(B\), можно провести единственную плоскость. Обозначим эту плоскость как \(\alpha\).

3. Так как \(A\) и \(B\) принадлежат окружности с центром \(O\), все точки окружности находятся на расстоянии радиуса \(r\) от точки \(O\).

4. Все точки окружности лежат на поверхности, которая является множеством точек, равноудалённых от центра \(O\).

5. В частности, окружность является пересечением сферы с центром \(O\) и радиусом \(r\) и плоскости \(\alpha\), содержащей точки \(A\) и \(B\).

6. Следовательно, все точки окружности лежат в плоскости \(\alpha\), так как окружность — это множество точек, расположенных в одной плоскости и равноудалённых от \(O\).

7. Таким образом, любая точка окружности принадлежит плоскости, заданной точками \(O\), \(A\) и \(B\).

8. Это подтверждается тем, что если бы существовала точка окружности вне плоскости \(\alpha\), то через неё и точки \(A\), \(B\) нельзя было бы провести единственную плоскость, что противоречит аксиоме.

9. Поэтому утверждение, что центр \(O\) и хорда \(AB\) задают плоскость, в которой лежит вся окружность, верно.

10. Ответ: любая точка окружности принадлежит плоскости, заданной точками \(O\), \(A\) и \(B\).