ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 2.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямые \( a \) и \( b \) пересекаются. Все ли прямые, пересекающие прямые \( a \) и \( b \), лежат в одной плоскости?

Прямые \( a \) и \( b \) пересекаются, значит они лежат в одной плоскости.

Любая прямая, пересекающая обе прямые \( a \) и \( b \), должна лежать в той же плоскости, так как через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Следовательно, все прямые, пересекающие \( a \) и \( b \), лежат в одной плоскости.

1. Пусть даны две прямые \( a \) и \( b \), которые пересекаются в точке \( O \). По условию, \( a \cap b = \{O\} \neq \emptyset \).

2. Из аксиомы геометрии известно, что через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость как \( \alpha \).

3. Так как \( a \subset \alpha \) и \( b \subset \alpha \), то обе прямые лежат в плоскости \( \alpha \).

4. Рассмотрим произвольную прямую \( c \), которая пересекает обе прямые \( a \) и \( b \). Пусть точки пересечения будут \( A = c \cap a \) и \( B = c \cap b \).

5. Так как точки \( A \) и \( B \) принадлежат прямым \( a \) и \( b \) соответственно, а эти прямые лежат в плоскости \( \alpha \), то точки \( A \) и \( B \) принадлежат плоскости \( \alpha \).

6. Прямая, проходящая через две точки \( A \) и \( B \), полностью лежит в плоскости \( \alpha \).

7. Следовательно, прямая \( c \), пересекающая \( a \) и \( b \), также лежит в плоскости \( \alpha \).

8. Таким образом, все прямые, пересекающие прямые \( a \) и \( b \), лежат в одной и той же плоскости \( \alpha \).

9. Вывод: через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость, и все прямые, пересекающие их, принадлежат этой плоскости.

10. Ответ: Да, \( a \) и \( b \) образуют единственную плоскость.