ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 2.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны прямая \( a \) и точка \( A \) вне её. Докажите, что все прямые, которые проходят через точку \( A \) и пересекают прямую \( a \), лежат в одной плоскости.

Дано: прямая \( a \), точка \( A \), \( A \notin a \).

Через точку \( A \) и любую точку \( C \) на прямой \( a \) можно провести прямую \( AC \).

Прямая \( a \) и прямая \( AC \), которые пересекаются в точке \( C \), задают плоскость \( \alpha \).

Все прямые, проходящие через \( A \) и пересекающие \( a \), лежат в этой плоскости \( \alpha \).

1. Дано: прямая \( a \), точка \( A \), такая что \( A \notin a \), и прямая \( C \), проходящая через точку \( A \) и пересекающая прямую \( a \) в точке \( C \), то есть \( C \in a \) и \( A \in C \).

2. Нужно доказать, что все прямые, проходящие через точку \( A \) и пересекающие прямую \( a \), лежат в одной плоскости.

3. Рассмотрим прямую \( a \) и точку \( A \), не лежащую на \( a \). Через точку \( A \) и любую точку \( C \) на прямой \( a \) можно провести прямую \( AC \).

4. Прямые \( a \) и \( AC \) пересекаются в точке \( C \), то есть \( a \cap AC = \{ C \} \).

5. Две прямые, пересекающиеся в одной точке, определяют плоскость. Обозначим эту плоскость как \( \alpha \), то есть \( a, AC \subset \alpha \).

6. Теперь рассмотрим любую прямую \( l \), проходящую через \( A \) и пересекающую \( a \) в точке \( D \), где \( D \in a \).

7. По построению точка \( D \) лежит на прямой \( a \), а точка \( A \) — на прямой \( l \).

8. Тогда прямые \( a \) и \( l \) пересекаются в точке \( D \), и \( l \) проходит через \( A \).

9. Следовательно, прямые \( a \) и \( l \), пересекающиеся в точке \( D \), также лежат в плоскости \( \alpha \).

10. Таким образом, все прямые, проходящие через \( A \) и пересекающие прямую \( a \), лежат в одной плоскости \( \alpha \).