ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 2.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямые \( m \) и \( n \) пересекаются в точке \( A \). Точка \( B \) принадлежит прямой \( m \), точка \( C \) — прямой \( n \), точка \( D \) — прямой \( BC \). Докажите, что прямые \( m \) и \( n \) и точка \( D \) лежат в одной плоскости.

Даны прямые \( m \) и \( n \), пересекающиеся в точке \( A \). Значит, они задают одну плоскость \(\alpha\).

Точки \( B \in m \) и \( C \in n \) принадлежат плоскости \(\alpha\).

Поскольку \( D \in BC \), а отрезок \( BC \) лежит в плоскости \(\alpha\), точка \( D \) тоже принадлежит плоскости \(\alpha\).

Следовательно, прямые \( m \), \( n \) и точка \( D \) лежат в одной плоскости.

Пусть даны две прямые \( m \) и \( n \), которые пересекаются в точке \( A \), то есть \( m \cap n = A \). Из геометрических аксиом известно, что если две прямые имеют общую точку и не совпадают, то существует единственная плоскость, в которой они обе лежат. Обозначим эту плоскость через \(\alpha\). Таким образом, прямые \( m \) и \( n \) принадлежат плоскости \(\alpha\), и все точки этих прямых лежат в этой плоскости.

Далее рассмотрим точки \( B \) и \( C \), где \( B \in m \), а \( C \in n \). Поскольку \( m \subset \alpha \) и \( n \subset \alpha \), то точки \( B \) и \( C \), принадлежащие этим прямым, также лежат в плоскости \(\alpha\). Это следует из определения плоскости, которая содержит все точки своих прямых. Теперь возьмём отрезок \( BC \), соединяющий эти две точки. По свойству плоскости, если две точки принадлежат плоскости, то и весь отрезок, соединяющий эти точки, также полностью лежит в этой плоскости. Следовательно, отрезок \( BC \subset \alpha \).

Пусть теперь точка \( D \) лежит на отрезке \( BC \), то есть \( D \in BC \). Из предыдущего утверждения следует, что поскольку \( BC \subset \alpha \), то и \( D \in \alpha \). Таким образом, точка \( D \) принадлежит той же плоскости \(\alpha\), что и прямые \( m \) и \( n \). В итоге мы получили, что прямые \( m \), \( n \) и точка \( D \) лежат в одной плоскости \(\alpha\), что и требовалось доказать.