ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 20.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 5 см и 12 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите высоту параллелепипеда.

Диагональ основания \( BD = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13 \) см.

Из треугольника \( BB_1D \) по углу 60°: \( \tan 60^\circ = \frac{BB_1}{BD} \).

Тогда высота \( BB_1 = BD \cdot \tan 60^\circ = 13 \cdot \sqrt{3} = 13\sqrt{3} \) см.

Основание параллелепипеда представляет собой прямоугольник со сторонами 5 см и 12 см. Для начала необходимо найти длину диагонали этого прямоугольника, так как она будет служить основанием для треугольника, в котором рассматривается высота параллелепипеда. Диагональ прямоугольника находится по теореме Пифагора: \( BD = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \) см.

Далее, по условию задачи, диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Рассмотрим треугольник \( BB_1D \), где \( BD \) — диагональ основания, \( BB_1 \) — высота параллелепипеда, а \( B_1D \) — диагональ параллелепипеда. В этом треугольнике угол между диагональю параллелепипеда \( B_1D \) и плоскостью основания равен 60°. Этот угол можно рассматривать как угол между высотой \( BB_1 \) и диагональю основания \( BD \).

Используя тригонометрическую функцию тангенс, которая равна отношению противолежащего катета к прилежащему, получаем: \( \tan 60^\circ = \frac{BB_1}{BD} \). Подставляя известные значения, находим высоту: \( BB_1 = BD \cdot \tan 60^\circ = 13 \cdot \sqrt{3} = 13\sqrt{3} \) см. Таким образом, высота параллелепипеда равна \( 13\sqrt{3} \) см.