ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 20.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стороны основания прямого параллелепипеда равны 2 см и \(2\sqrt{3}\) см, а один из углов основания равен 30°. Площадь диагонального сечения параллелепипеда, проходящего через меньшую диагональ основания, равна 8 см². Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Площадь основания \(S_{осн} = AB \cdot AD \cdot \sin 30^\circ = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}\).

Площадь всего основания \(2 S_{осн} = 4\sqrt{3}\).

Длина диагонали основания \(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos 30^\circ = 4 + 12 — 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\), значит \(BD = 2\).

Площадь диагонального сечения \(S_{BB_1DD_1} = BB_1 \cdot BD = 8\), отсюда \(BB_1 = \frac{8}{2} = 4\).

Периметр основания \(P = 2 + 2 + 2\sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3}\).

Площадь боковой поверхности \(S_{бок} = P \cdot BB_1 = (2 + 2 + 2\sqrt{3}) \cdot 4 = 16 + 16\sqrt{3}\).

Площадь полной поверхности \(S_{п.п.} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 4\sqrt{3} + 16 + 16\sqrt{3} = 16 + 20\sqrt{3}\).

Площадь основания параллелепипеда вычисляется через произведение двух его смежных сторон и синуса угла между ними. В данном случае стороны основания равны \(AB = 2\) и \(AD = 2\sqrt{3}\), а угол между ними составляет \(30^\circ\). Формула площади основания: \(S_{осн} = AB \cdot AD \cdot \sin 30^\circ\). Подставляя значения, получаем \(S_{осн} = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}\). Поскольку основание — параллелограмм, площадь всего основания равна удвоенной площади треугольника, то есть \(2 S_{осн} = 4\sqrt{3}\).

Для определения высоты параллелепипеда сначала находим длину диагонали основания \(BD\). Используем теорему косинусов: \(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos 30^\circ\). Подставляем известные значения: \(BD^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 — 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 + 12 — 12 = 4\). Следовательно, \(BD = 2\). Эта диагональ является основанием диагонального сечения, площадь которого дана и равна 8.

Площадь диагонального сечения равна произведению диагонали основания \(BD\) на высоту \(BB_1\), то есть \(S_{диаг} = BB_1 \cdot BD = 8\). Отсюда высота \(BB_1 = \frac{8}{2} = 4\). Далее находим периметр основания, который равен сумме всех сторон: \(P = AB + BD + AD = 2 + 2 + 2\sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3}\). Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту: \(S_{бок} = P \cdot BB_1 = (2 + 2 + 2\sqrt{3}) \cdot 4 = 16 + 16\sqrt{3}\). Итоговая площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме удвоенной площади основания и площади боковой поверхности: \(S_{п.п.} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 4\sqrt{3} + 16 + 16\sqrt{3} = 16 + 20\sqrt{3}\).