ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 20.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если диагонали прямого параллелепипеда равны, то данный параллелепипед является прямоугольным.

Если диагонали прямого параллелепипеда равны, то его основания — прямоугольники.

Так как основания прямоугольные, значит параллелепипед прямоугольный.

Если диагонали прямого параллелепипеда равны, это означает, что длины отрезков, соединяющих противоположные вершины, совпадают. Диагонали прямого параллелепипеда можно выразить через длины его рёбер \(a\), \(b\) и \(c\) по формуле \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\). Равенство диагоналей указывает на то, что все такие выражения для разных пар рёбер совпадают, что возможно только при определённом соотношении между сторонами основания.

Основания параллелепипеда — это параллелограммы, образованные рёбрами \(a\) и \(b\). Если диагонали параллелепипеда равны, то основания должны быть прямоугольниками, то есть углы между рёбрами основания равны \(90^\circ\). Это следует из свойства параллелограмма: если диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником. Следовательно, основания прямого параллелепипеда — прямоугольники.

Так как основания прямоугольные, а параллелепипед прямой (то есть боковые рёбра перпендикулярны основаниям), то все углы параллелепипеда прямые. Это и определяет его как прямоугольный параллелепипед. Таким образом, равенство диагоналей прямого параллелепипеда гарантирует, что он является прямоугольным.