ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 20.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием прямого параллелепипеда \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\) является ромб \(ABCD\) со стороной 6 см, \(\angle BAD = 45^\circ\). Через прямую \(AD\) и вершину \(B_1\) проведена плоскость, образующая с плоскостью \(ABC\) угол 60°. Найдите:

1) боковое ребро параллелепипеда;

2) площадь сечения параллелепипеда плоскостью \(AB_1 D\).

Основание ромб со стороной 6 см и углом 45°. Диагональ \(BD\) найдём по формуле: \(BD^2 = 6^2 + 6^2 — 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos 45^\circ = 36 + 36 — 72 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 72 — 36 \sqrt{2}\). Значит, \(BD = 6 \sqrt{2 — \sqrt{2}}\) см.

Боковое ребро \(BB_1\) равно \(3 \sqrt{6}\) см.

Площадь сечения \(S_{AB_1D}\) равна произведению диагонали \(BD\) на боковое ребро: \(S_{AB_1D} = 6 \cdot 6 \sqrt{2} = 36 \sqrt{2}\) см².

Ромб \(ABCD\) имеет сторону \(6\) см и угол \(45^\circ\) между сторонами \(AB\) и \(AD\). Чтобы найти диагональ \(BD\), используем теорему косинусов для треугольника \(ABD\): \(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAD\). Подставляем значения: \(BD^2 = 6^2 + 6^2 — 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos 45^\circ = 36 + 36 — 72 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 72 — 36 \sqrt{2}\). Значит, диагональ \(BD = 6 \sqrt{2 — \sqrt{2}}\) см.

Параллелепипед построен на основании ромба, и боковое ребро \(BB_1\) перпендикулярно основанию. Из условия угол между плоскостью, проходящей через \(AD\) и вершину \(B_1\), и плоскостью основания равен \(60^\circ\). Это позволяет определить высоту параллелепипеда, то есть длину ребра \(BB_1\). В результате вычислений получается, что \(BB_1 = 3 \sqrt{6}\) см.

Площадь сечения параллелепипеда плоскостью \(AB_1D\) можно найти, рассматривая треугольник с вершинами в точках \(A\), \(B_1\) и \(D\). Основание этого треугольника — сторона \(AD\) ромба, равная \(6\) см, а высота связана с боковым ребром и углом между плоскостями. Итоговая площадь сечения равна произведению \(6\) на \(6 \sqrt{2}\), то есть \(S_{AB_1D} = 36 \sqrt{2}\) см².