ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 20.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна \(d\) и образует с плоскостью основания угол \(\alpha\), а с одной из боковых граней — угол \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Диагональ \(d\) образует с плоскостью основания угол \(\alpha\), значит высота \(BB_1 = d \sin \alpha\).

Ребро \(AD = c \sin \beta\), а ребро \(AB = c \sqrt{\cos^2 \beta — \sin^2 \alpha}\).

Периметр основания \(P = 2(AD + AB) = 2c \sin \beta + 2c \sqrt{\cos^2 \beta — \sin^2 \alpha}\).

Площадь боковой поверхности равна \(S = P \cdot BB_1 = (2c \sin \beta + 2c \sqrt{\cos^2 \beta — \sin^2 \alpha}) \cdot d \sin \alpha\).

Упрощая: \(S = 2 c d \sin \alpha (\sin \beta + \sqrt{\cos^2 \beta — \sin^2 \alpha})\).

Диагональ \(d\) прямоугольного параллелепипеда образует угол \(\alpha\) с плоскостью основания. Это означает, что проекция диагонали на вертикальное ребро, то есть высота \(BB_1\), равна \(d \sin \alpha\). Таким образом, высоту можно выразить через известную диагональ и угол \(\alpha\) как \(BB_1 = d \sin \alpha\). Это важно, потому что высота — одна из сторон боковой поверхности, площадь которой нужно найти.

Далее рассмотрим угол \(\beta\), который диагональ образует с одной из боковых граней. Если обозначить ребро основания, лежащее в плоскости, как \(c\), то проекция этого ребра на боковую грань равна \(c \sin \beta\). При этом другая сторона основания, перпендикулярная данной, равна \(c \sqrt{\cos^{2} \beta — \sin^{2} \alpha}\). Это выражение получается из геометрических соотношений между углами и сторонами, учитывая, что диагональ и высота связаны через углы \(\alpha\) и \(\beta\).

Периметр основания равен сумме всех сторон основания, то есть \(P = 2 (AD + AB) = 2 c \sin \beta + 2 c \sqrt{\cos^{2} \beta — \sin^{2} \alpha}\). Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту, то есть \(S = P \cdot BB_1\). Подставляя выражения, получаем \(S = (2 c \sin \beta + 2 c \sqrt{\cos^{2} \beta — \sin^{2} \alpha}) \cdot d \sin \alpha\). Упростив, получаем окончательную формулу площади боковой поверхности: \(S = 2 c d \sin \alpha (\sin \beta + \sqrt{\cos^{2} \beta — \sin^{2} \alpha})\).