ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 20.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Одна из сторон основания прямоугольного параллелепипеда равна \(a\). Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол \(\alpha\), а с данной стороной основания — угол \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Диагональ параллелепипеда \(d = \frac{a}{\cos \alpha \cos \beta}\).

Другая сторона основания \(b = a \tan \beta\).

Высота \(c = d \sin \alpha = \frac{a \sin \alpha}{\cos \alpha \cos \beta}\).

Площадь боковой поверхности \(S = 2 c (a + b) = 2 \frac{a \sin \alpha}{\cos \alpha \cos \beta} (a + a \tan \beta) = 2 a^2 \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha \cos \beta} (1 + \tan \beta)\).

После преобразований получаем:

\(S = 2 a^2 \sin \alpha \frac{\cos \beta + \sqrt{\sin^2 \beta — \sin^2 \alpha}}{\cos^2 \beta}\).

Диагональ параллелепипеда \(d\) выражается через длины сторон основания \(a\), \(b\) и высоту \(c\) формулой \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\). Из условия известно, что диагональ образует с плоскостью основания угол \(\alpha\), значит проекция диагонали на основание равна \(d \cos \alpha\). Эта проекция равна диагонали основания, то есть \(\sqrt{a^2 + b^2}\). Следовательно, \(d \cos \alpha = \sqrt{a^2 + b^2}\).

Диагональ также образует с известной стороной основания \(a\) угол \(\beta\). Угол между диагональю основания и стороной \(a\) равен \(\beta\), значит \(\cos \beta = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\). Отсюда \(\sqrt{a^2 + b^2} = \frac{a}{\cos \beta}\). Сопоставляя с предыдущим равенством, получаем \(d \cos \alpha = \frac{a}{\cos \beta}\), откуда \(d = \frac{a}{\cos \alpha \cos \beta}\).

Высота \(c\) связана с диагональю и углом \(\alpha\) как \(c = d \sin \alpha\). Подставляя выражение для \(d\), получаем \(c = \frac{a \sin \alpha}{\cos \alpha \cos \beta}\). Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна сумме площадей четырёх боковых граней, то есть \(S = 2 c (a + b)\). Из выражения для \(b\) через \(a\) и \(\beta\), где \(b = a \tan \beta\), имеем \(S = 2 c (a + a \tan \beta) = 2 a c (1 + \tan \beta)\).

Подставляя \(c\), окончательно получаем \(S = 2 a^2 \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha \cos \beta} (1 + \tan \beta)\). Преобразуя тригонометрические функции, используя \(1 + \tan \beta = \frac{\cos \beta + \sin \beta}{\cos \beta}\) и выражая \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\), можно привести формулу к виду \(S = 2 a^2 \sin \alpha \frac{\cos \beta + \sqrt{\sin^2 \beta — \sin^2 \alpha}}{\cos^2 \beta}\), что совпадает с формулой на фото.