ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 20.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагональ \(AC_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\) образует с рёбрами \(AB\), \(AD\) и \(AA_1\) соответственно углы \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\). Докажите, что \(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1\).

Обозначим длины рёбер \(AB = x\), \(AD = y\), \(AA_1 = z\). Диагональ \(AC_1\) равна \(d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\).

Косинусы углов диагонали с рёбрами выражаются как \(\cos \alpha = \frac{x}{d}\), \(\cos \beta = \frac{y}{d}\), \(\cos \gamma = \frac{z}{d}\).

Складываем квадраты косинусов: \(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = \frac{x^2}{d^2} + \frac{y^2}{d^2} + \frac{z^2}{d^2} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{d^2} = \frac{d^2}{d^2} = 1\).

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с рёбрами \(AB\), \(AD\) и \(AA_1\), длины которых обозначим как \(x\), \(y\) и \(z\) соответственно. Диагональ \(AC_1\) соединяет противоположные вершины параллелепипеда и проходит через пространство, образуя углы с каждым из этих рёбер. Чтобы найти косинусы углов между диагональю и рёбрами, нам сначала нужно выразить длину диагонали. Она вычисляется по теореме Пифагора в трёх измерениях и равна \(d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\).

Далее определим косинусы углов \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\), которые диагональ образует с рёбрами \(AB\), \(AD\) и \(AA_1\) соответственно. Косинус угла между двумя векторами равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин. Поскольку рёбра параллелепипеда ориентированы вдоль осей координат, косинус угла диагонали с каждым ребром равен отношению длины этого ребра к длине диагонали. Таким образом, \(\cos \alpha = \frac{x}{d}\), \(\cos \beta = \frac{y}{d}\), \(\cos \gamma = \frac{z}{d}\).

Теперь рассмотрим сумму квадратов этих косинусов: \(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = \frac{x^2}{d^2} + \frac{y^2}{d^2} + \frac{z^2}{d^2}\). Вынесем общий знаменатель: \(\frac{x^2 + y^2 + z^2}{d^2}\). По определению длины диагонали, числитель равен \(d^2\), следовательно, сумма равна \(\frac{d^2}{d^2} = 1\). Это доказывает, что сумма квадратов косинусов углов диагонали с рёбрами прямоугольного параллелепипеда всегда равна единице.