ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 20.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием прямого параллелепипеда является ромб, а площади диагональных сечений равны \(S_1\) и \(S_2\). Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Основание — ромб с диагоналями \(d_1\) и \(d_2\). Площади диагональных сечений равны \(S_1 = d_1 \cdot h\) и \(S_2 = d_2 \cdot h\), где \(h\) — высота параллелепипеда.

Сторона ромба равна \(a = \frac{\sqrt{d_1^2 + d_2^2}}{2}\).

Площадь боковой поверхности равна \(S_{\text{бок}} = 4 \cdot a \cdot h = 2h \sqrt{d_1^2 + d_2^2}\).

Подставляем \(d_1 = \frac{S_1}{h}\) и \(d_2 = \frac{S_2}{h}\), тогда
\(S_{\text{бок}} = 2h \sqrt{\frac{S_1^2}{h^2} + \frac{S_2^2}{h^2}} = 2 \sqrt{S_1^2 + S_2^2}\).

Ответ: \(S_{\text{бок}} = 2 \sqrt{S_1^2 + S_2^2}\).

Основание параллелепипеда — ромб с диагоналями \(d_1\) и \(d_2\). Площадь ромба выражается через диагонали формулой \(S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} d_1 d_2\). Высота параллелепипеда обозначена как \(h\). Диагональные сечения параллелепипеда — это параллелограммы, одна сторона которых — диагональ основания, а другая — высота \(h\). Площади этих сечений равны \(S_1\) и \(S_2\), где \(S_1 = d_1 \cdot h\) и \(S_2 = d_2 \cdot h\). Отсюда высота \(h\) может быть найдена как \(h = \frac{S_1}{d_1} = \frac{S_2}{d_2}\).

Сторона ромба \(a\) связана с диагоналями через теорему Пифагора для ромба: \(a = \frac{\sqrt{d_1^2 + d_2^2}}{2}\). Боковая поверхность параллелепипеда состоит из четырёх параллелограммов, каждая из которых имеет сторону \(a\) и высоту \(h\). Площадь каждой боковой грани равна произведению стороны основания на высоту, то есть \(a \cdot h\). Следовательно, площадь всей боковой поверхности равна \(S_{\text{бок}} = 4 \cdot a \cdot h = 2h \sqrt{d_1^2 + d_2^2}\).

Подставляя выражения для диагоналей через площади диагональных сечений и высоту, получаем \(d_1 = \frac{S_1}{h}\) и \(d_2 = \frac{S_2}{h}\). Тогда площадь боковой поверхности становится \(S_{\text{бок}} = 2h \sqrt{\left(\frac{S_1}{h}\right)^2 + \left(\frac{S_2}{h}\right)^2} = 2h \sqrt{\frac{S_1^2 + S_2^2}{h^2}} = 2 \sqrt{S_1^2 + S_2^2}\). Таким образом, площадь боковой поверхности выражается только через площади диагональных сечений и равна \(2 \sqrt{S_1^2 + S_2^2}\).