ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 20.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием прямого параллелепипеда является ромб, площадь которого равна \(S\). Площади диагональных сечений равны \(S_1\) и \(S_2\). Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Пусть \( cd \) — боковое ребро, \( ed \) и \( bd \) — диагонали ромба. Тогда площади сечений: \( S_1 = cd \cdot ed \), \( S_2 = cd \cdot bd \).

Площадь основания ромба \( S = \frac{1}{2} ed \cdot bd \), откуда \( ed \cdot bd = 2S \).

Перемножим площади сечений: \( S_1 \cdot S_2 = cd^2 \cdot ed \cdot bd = cd^2 \cdot 2S \).

Отсюда \( cd^2 = \frac{S_1 \cdot S_2}{2S} \), значит боковое ребро \( cd = \sqrt{\frac{S_1 \cdot S_2}{2S}} \).

Пусть \( cd \) — боковое ребро параллелепипеда, а \( ed \) и \( bd \) — диагонали основания, которое является ромбом. Из условия известно, что площади диагональных сечений равны \( S_1 \) и \( S_2 \). Эти сечения проходят через боковое ребро \( cd \) и диагонали основания, поэтому площадь первого сечения равна произведению \( cd \) на \( ed \), то есть \( S_1 = cd \cdot ed \), а площадь второго сечения равна произведению \( cd \) на \( bd \), то есть \( S_2 = cd \cdot bd \).

Площадь ромба, являющегося основанием, выражается через диагонали как \( S = \frac{1}{2} ed \cdot bd \). Это классическая формула площади ромба, где диагонали пересекаются под прямым углом. Из этой формулы можно выразить произведение диагоналей: \( ed \cdot bd = 2S \). Это важное равенство, которое позволит связать площади сечений с площадью основания.

Теперь перемножим площади сечений \( S_1 \) и \( S_2 \). Получим \( S_1 \cdot S_2 = (cd \cdot ed)(cd \cdot bd) = cd^2 \cdot ed \cdot bd \). Подставляя выражение для произведения диагоналей из площади ромба, получаем \( S_1 \cdot S_2 = cd^2 \cdot 2S \). Отсюда выразим квадрат бокового ребра: \( cd^2 = \frac{S_1 \cdot S_2}{2S} \). Следовательно, боковое ребро равно \( cd = \sqrt{\frac{S_1 \cdot S_2}{2S}} \).