ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 20.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Все грани параллелепипеда являются ромбами с острыми углами, равными 60°. Найдите расстояние между параллельными гранями параллелепипеда, если ребро параллелепипеда равно \(a\).

Дано ребро параллелепипеда \(a\) и угол между ребрами 60°. Площадь грани равна \(S = a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}\). Объем параллелепипеда \(V = a^3 \frac{\sqrt{2}}{2}\). Расстояние между параллельными гранями находится как \(P = \frac{V}{S} = \frac{a^3 \frac{\sqrt{2}}{2}}{a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}} = a \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}\).

Ответ: \(P = \frac{a \sqrt{6}}{3}\).

Рассмотрим параллелепипед с ребром длины \(a\), в котором все грани — ромбы с острыми углами 60°. Каждая грань является параллелограммом с равными сторонами \(a\) и углом между ними 60°, поэтому площадь грани можно найти по формуле площади параллелограмма: \(S = a^{2} \sin 60^\circ\). Подставляя значение синуса, получаем \(S = a^{2} \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Для нахождения расстояния между параллельными гранями необходимо знать высоту параллелепипеда. Высота связана с объемом и площадью основания формулой \(P = \frac{V}{S}\), где \(V\) — объем, а \(S\) — площадь грани. Объем параллелепипеда с ребрами длины \(a\) и углами между ними 60° вычисляется через смешанное произведение векторов, что даёт формулу \(V = a^{3} \sqrt{1 — 3 \cos^{2} 60^\circ + 2 \cos^{3} 60^\circ}\). Подставляя \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), получаем \(V = a^{3} \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Далее подставляем значения объема и площади в формулу высоты: \(P = \frac{a^{3} \frac{\sqrt{2}}{2}}{a^{2} \frac{\sqrt{3}}{2}} = a \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}\). Таким образом, расстояние между параллельными гранями равно \(P = \frac{a \sqrt{6}}{3}\).