ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 20.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием параллелепипеда \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\) является прямоугольник \(ABCD\). Известно, что \(AA_1 = a\), \(\angle A_1 AB = \alpha\), \(\angle A_1 AD = \beta\). Найдите высоту параллелепипеда.

Основание параллелепипеда — прямоугольник, значит стороны \(AB\) и \(AD\) перпендикулярны.

Дано: \(AA_1 = a\), \(\angle A_1 AB = \alpha\), \(\angle A_1 AD = \beta\).

Высота параллелепипеда — это длина перпендикуляра из точки \(A_1\) на плоскость \(ABCD\).

Рассмотрим проекции \(AA_1\) на направления \(AB\) и \(AD\):

— Проекция на \(AB\) равна \(a \cos \alpha\),
— Проекция на \(AD\) равна \(a \cos \beta\).

Высоту \(h\) найдем как часть \(a\), не попадающую в проекции на эти стороны, то есть

\(h = a \sqrt{1 — \cos^2 \alpha — \cos^2 \beta}\).

Ответ:

\(h = a \sqrt{\sin^2 \alpha — \cos^2 \beta}\).

Параллелепипед основан на прямоугольнике \(ABCD\), значит стороны \(AB\) и \(AD\) перпендикулярны между собой. Это важно, потому что векторы, лежащие на этих сторонах, ортогональны, и мы можем использовать это при вычислении высоты. Высота параллелепипеда — это длина перпендикуляра из точки \(A_1\) на плоскость основания \(ABCD\). При этом известно, что ребро \(AA_1\) имеет длину \(a\), а углы между этим ребром и сторонами основания равны \(\alpha\) и \(\beta\).

Для нахождения высоты нужно представить вектор \(AA_1\) через его проекции на направления \(AB\), \(AD\) и высоту \(h\), перпендикулярную плоскости основания. Если обозначить высоту через \(h\), то по теореме Пифагора для вектора \(AA_1\) справедливо равенство длины вектора в пространстве через сумму квадратов его проекций. Проекции вектора \(AA_1\) на направления \(AB\) и \(AD\) равны \(a \cos \alpha\) и \(a \cos \beta\) соответственно, так как углы между \(AA_1\) и этими направлениями заданы. Тогда высота \(h\) будет вычисляться как

\(h = \sqrt{a^2 — (a \cos \alpha)^2 — (a \cos \beta)^2} = a \sqrt{1 — \cos^2 \alpha — \cos^2 \beta}\).

Так как \(AB\) и \(AD\) перпендикулярны, то сумма квадратов косинусов углов не может превышать 1, что гарантирует положительность выражения под корнем.

Итоговый ответ на задачу — высота параллелепипеда равна

\(h = a \sqrt{\sin^2 \alpha — \cos^2 \beta}\).

Это выражение учитывает взаимное расположение ребра \(AA_1\) относительно основания и позволяет точно определить высоту, используя заданные углы и длину ребра.