ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 20.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро куба равно 1 см. Докажите, что сумма расстояний от любой точки пространства до его вершин не меньше, чем \(4\sqrt{3}\) см.

Рассмотрим куб с ребром 1 и центр \(O\) с координатами \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\).

Расстояние от центра \(O\) до любой вершины равно \(d = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Сумма расстояний от центра до всех восьми вершин равна \(8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\).

По неравенству треугольника и свойствам расстояний минимальная сумма достигается в центре, значит для любой точки \(M\) выполняется неравенство

\(p(M; вершины) \geq 4\sqrt{3}\).

Рассмотрим куб с ребром 1, расположенный в трехмерном пространстве. Центр куба \(O\) имеет координаты \( \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) \) потому что каждая координата находится ровно посередине ребра длиной 1. Вершины куба расположены в точках с координатами, где каждая координата равна либо 0, либо 1. Например, одна из вершин — это точка \(A(0,0,0)\), а противоположная вершина — \(C_1(1,1,1)\).

Расстояние от центра куба \(O\) до любой вершины вычисляется по формуле расстояния между двумя точками в пространстве: \(d = \sqrt{(x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 + (z — z_0)^2}\). Подставляя координаты центра и вершины \(A(0,0,0)\), получаем \(d = \sqrt{\left(\frac{1}{2} — 0\right)^2 + \left(\frac{1}{2} — 0\right)^2 + \left(\frac{1}{2} — 0\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Аналогично расстояния до всех остальных вершин одинаковы, так как куб симметричен относительно центра.

Сумма расстояний от центра до всех восьми вершин равна \(8\) умножить на расстояние до одной вершины, то есть \(8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}\). Известно, что сумма расстояний от произвольной точки \(M\) до вершин куба не может быть меньше этой суммы, так как центр куба является точкой, минимизирующей сумму расстояний из-за симметрии и выпуклости функции расстояния. Следовательно, для любой точки \(M\) в пространстве выполняется неравенство \(p(M; вершины) \geq 4 \sqrt{3}\).