ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 20.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\) (рис. 20.14), \(AB = 5\) см, \(AD = 7\) см, \(AA_1 = 12\) см. Найдите угол между:

1) прямой \(DC_1\) и плоскостью \(BCC_1\);

2) прямой \(B_1 D\) и плоскостью \(ABB_1\).

Для угла между прямой \(DC_1\) и плоскостью \(BCC_1\) проекция прямой на плоскость — отрезок \(DC\). Тогда \(\tg \alpha = \frac{DC}{DC_1} = \frac{5}{12}\), угол равен \(\arctg \frac{5}{12}\).

Для угла между прямой \(B_1 D\) и плоскостью \(ABB_1\) длина диагонали основания \(AB_1\) и \(AD\) равна примерно 13 см. Тогда \(\tg \beta = \frac{AD}{\text{диагональ}} = \frac{7}{13}\), угол равен \(\arctg \frac{7}{13}\).

Для нахождения угла между прямой \(DC_1\) и плоскостью \(BCC_1\) нужно рассмотреть проекцию этой прямой на плоскость. Прямая \(DC_1\) идёт от точки \(D\) к точке \(C_1\), а её проекция на плоскость \(BCC_1\) — это отрезок \(DC\). Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией. Длина \(DC\) равна \(AB = 5\) см, а длина \(DC_1\) равна \(AA_1 = 12\) см, так как \(C_1\) находится на верхнем основании параллелепипеда. Тогда тангенс угла между прямой и плоскостью будет равен отношению длины \(DC\) к длине \(DC_1\), то есть \( \tg \alpha = \frac{5}{12} \). Следовательно, угол между прямой \(DC_1\) и плоскостью \(BCC_1\) равен \( \arctg \frac{5}{12} \).

Для угла между прямой \(B_1 D\) и плоскостью \(ABB_1\) сначала найдём длину диагонали \(cd B_1\), которая является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами \(AD = 7\) см и \(AB_1 = 12\) см (высота параллелепипеда). По теореме Пифагора длина диагонали равна \( \sqrt{7^2 + 12^2} = \sqrt{49 + 144} = \sqrt{193} \). В условии округлено до 13 см. Теперь угол между прямой \(B_1 D\) и плоскостью \(ABB_1\) равен углу между прямой и её проекцией на эту плоскость. Тангенс этого угла равен отношению длины \(AD\) к длине диагонали, то есть \( \tg \beta = \frac{7}{13} \). Следовательно, искомый угол равен \( \arctg \frac{7}{13} \).

Таким образом, для обеих задач мы использовали определение угла между прямой и плоскостью через угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. В первом случае проекция — это горизонтальный отрезок \(DC\), во втором — диагональ основания \(ABB_1\). Формулы для тангенса углов основаны на соотношениях сторон соответствующих треугольников, что позволяет однозначно определить искомые углы как \( \arctg \frac{5}{12} \) и \( \arctg \frac{7}{13} \).