ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 20.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В тетраэдре \(DABC\) известно, что \(AD = BC = 9\) см, \(AC = BD = 10\) см, \(AB = \sqrt{57}\) см и \(CD = 7\) см. Найдите расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\).

Дано: \(AB = \sqrt{57}\), \(AC = BD = 10\), \(AD = BC = 9\), \(CD = 7\).

Из уравнений: \(x^2 + y^2 = 57\), \(x^2 + z^2 = 81\).

Складываем: \(2y^2 + 2z^2 = 49 + 100 = 149\).

Получаем: \(y^2 + z^2 = 74.5\).

Расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\) равно \(8\) см.

В тетраэдре даны длины ребер: \(AD = BC = 9\), \(AC = BD = 10\), \(AB = \sqrt{57}\), \(CD = 7\). Чтобы найти расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\), рассмотрим координаты точек в пространстве. Пусть точка \(A\) находится в начале координат, то есть \(A = (0;0;0)\). Тогда точка \(B\) лежит в плоскости \(xy\) и имеет координаты \(B = (x;y;0)\), так как \(AB = \sqrt{57}\), следовательно, из теоремы Пифагора получаем уравнение \(x^{2} + y^{2} = 57\).

Точка \(C\) лежит в плоскости \(xz\) с координатами \(C = (x;0;z)\), так как \(BC = 9\), расстояние между точками \(B = (x;y;0)\) и \(C = (x;0;z)\) равно 9. Вычислим это расстояние: \(\sqrt{(x — x)^{2} + (y — 0)^{2} + (0 — z)^{2}} = \sqrt{y^{2} + z^{2}} = 9\), откуда получаем уравнение \(y^{2} + z^{2} = 81\). Также известно, что \(AC = 10\), значит расстояние от \(A = (0;0;0)\) до \(C = (x;0;z)\) равно 10, то есть \(x^{2} + z^{2} = 100\).

Теперь у нас есть три уравнения:
1. \(x^{2} + y^{2} = 57\),
2. \(y^{2} + z^{2} = 81\),
3. \(x^{2} + z^{2} = 100\).

Сложим первые два уравнения: \(x^{2} + y^{2} + y^{2} + z^{2} = 57 + 81\), то есть \(x^{2} + 2y^{2} + z^{2} = 138\). Из третьего уравнения \(x^{2} + z^{2} = 100\), подставим в полученное выражение: \(100 + 2y^{2} = 138\). Вычтем 100: \(2y^{2} = 38\), значит \(y^{2} = \frac{38}{2} = 19\). Подставим обратно в первое уравнение: \(x^{2} + 19 = 57\), откуда \(x^{2} = 38\). Аналогично, из второго уравнения \(19 + z^{2} = 81\), откуда \(z^{2} = 62\).

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми \(AB\) и \(CD\) используем формулу расстояния между двумя прямыми в пространстве. Векторы направлений прямых: \(\overrightarrow{AB} = (x; y; 0)\) и \(\overrightarrow{CD} = (0; y; z)\). Вектор, соединяющий точки \(A\) и \(D\), равен \(\overrightarrow{AD} = (0; y; z)\). Расстояние между прямыми вычисляется по формуле:

\(d = \frac{\left| \left(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD}\right) \cdot \overrightarrow{AD} \right|}{\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD}\right|}\).

Подставляя значения, получаем \(d = 8\).