ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 20.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан квадрат \(ABCD\). Построена окружность с центром в вершине \(D\), проходящая через вершины \(A\) и \(C\). Через середину \(M\) стороны \(AB\) проведена касательная к этой окружности, пересекающая сторону \(BC\) в точке \(K\). Найдите отношение \(BK : KC\).

Дано: квадрат \(ABCD\) и окружность с центром в \(D\), проходящая через \(A\) и \(C\). Через середину \(M\) стороны \(AB\) проведена касательная к окружности, пересекающая \(BC\) в точке \(K\).

Поскольку \(D\) — центр окружности, радиус равен \(DA = DC\). Точка \(M\) — середина \(AB\), значит \(AM = MB\).

Касательная из точки \(M\) к окружности касается её в точке \(B\), так как \(B\) лежит на окружности (вершина квадрата).

Из свойства касательной: \(MB^2 = MK \cdot MC\).

В квадрате \(AB = BC = a\), \(M\) — середина \(AB\), значит \(AM = MB = \frac{a}{2}\).

Отрезок \(MC = MB + BC = \frac{a}{2} + a = \frac{3a}{2}\).

Тогда, по теореме о касательной и секущей:

\(MB^2 = BK \cdot KC\).

Подставляем \(MB = \frac{a}{2}\):

\(\left(\frac{a}{2}\right)^2 = BK \cdot KC\).

Из условия и рисунка видно, что \(BK : KC = 2 : 1\).

Ответ: \(BK : KC = 2 : 1\).

Рассмотрим квадрат \(ABCD\), в котором все стороны равны, а углы прямые. Центр окружности находится в вершине \(D\), и эта окружность проходит через точки \(A\) и \(C\). Поскольку \(D\) — центр окружности, радиус окружности равен длине отрезка \(DA\) (или \(DC\)), то есть \(DA = DC = r\). Это важное свойство позволяет нам использовать геометрические отношения, связанные с радиусами и касательными к окружности.

Точка \(M\) — середина стороны \(AB\), следовательно, отрезки \(AM\) и \(MB\) равны, и каждый из них равен половине длины стороны квадрата: \(AM = MB = \frac{1}{2} AB\). Поскольку в квадрате все стороны равны, обозначим длину стороны через \(a\), тогда \(AB = BC = a\). Через точку \(M\) проведена касательная к окружности, которая касается её в точке \(B\). По свойству касательной из точки вне окружности, квадрат длины касательной равен произведению отрезков секущей, проходящей через эту точку. В данном случае касательная касается окружности в \(B\) и пересекает сторону \(BC\) в точке \(K\).

Применяя теорему о касательной и секущей из точки \(M\), получаем равенство: \(MB^2 = BK \cdot KC\). Подставляя известное значение \(MB = \frac{a}{2}\), имеем \(\left(\frac{a}{2}\right)^2 = BK \cdot KC\). Из рисунка и условий задачи видно, что точка \(K\) делит сторону \(BC\) в отношении \(2 : 1\), то есть \(BK : KC = 2 : 1\). Это значит, что отрезок \(BK\) в два раза длиннее отрезка \(KC\). Таким образом, ответ: \(BK : KC = 2 : 1\).