ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 20.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основание равнобедренного треугольника равно 20 см, а боковая сторона — 30 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при основании.

Основание \( AC = 20 \), боковая сторона \( AB = BC = 30 \).

По теореме косинусов для угла \( B \):
\( 20^2 = 30^2 + 30^2 — 2 \cdot 30 \cdot 30 \cdot \cos B \)
\( 400 = 900 + 900 — 1800 \cos B \)
\( 1800 \cos B = 1800 — 400 = 1400 \)
\( \cos B = \frac{7}{9} \).

По свойству биссектрисы:
\( \frac{AB}{BK} = \frac{AC}{KC} \), где \( BK = x \), \( KC = 30 — x \).
\( \frac{30}{x} = \frac{20}{30 — x} \)
\( 20x = 900 — 30x \)
\( 50x = 900 \)
\( x = 18 \).

Длина биссектрисы \( AK \):
\( AK^2 = AB^2 + BK^2 — 2 \cdot AB \cdot BK \cdot \cos B \)
\( AK^2 = 900 + 324 — 2 \cdot 30 \cdot 18 \cdot \frac{7}{9} = 1224 — 840 = 384 \)
\( AK = 8 \sqrt{6} \) см.

Дано, что основание треугольника \( AC = 20 \) см, а боковые стороны равны \( AB = BC = 30 \) см. Чтобы найти длину биссектрисы \( BK \), проведённой из вершины \( B \), сначала определим угол \( B \) с помощью теоремы косинусов. Эта теорема позволяет выразить сторону через две другие стороны и угол между ними. Запишем уравнение: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B \). Подставляя известные значения, получаем \( 20^2 = 30^2 + 30^2 — 2 \cdot 30 \cdot 30 \cdot \cos B \), что даёт \( 400 = 900 + 900 — 1800 \cos B \). Переносим слагаемые и решаем уравнение относительно \( \cos B \): \( 1800 \cos B = 1800 — 400 = 1400 \), откуда следует \( \cos B = \frac{7}{9} \).

Далее, используя свойство биссектрисы, которое гласит, что она делит противоположную сторону в отношении прилегающих к ней сторон, запишем пропорцию \( \frac{AB}{BK} = \frac{AC}{KC} \). Обозначим длину отрезка \( BK \) как \( x \), тогда \( KC = 30 — x \) (поскольку \( AC = 30 \) см). Подставим значения в пропорцию: \( \frac{30}{x} = \frac{20}{30 — x} \). Перемножая крест-накрест, получаем уравнение \( 20x = 900 — 30x \). Переносим все слагаемые с \( x \) в одну сторону: \( 50x = 900 \), откуда \( x = 18 \) см. Таким образом, биссектриса делит сторону \( AC \) на отрезки длиной 18 см и 12 см.

Осталось найти длину самой биссектрисы \( AK \). Для этого применим теорему косинусов в треугольнике \( ABK \), где известны стороны \( AB = 30 \) см, \( BK = 18 \) см и угол \( B \) с косинусом \( \frac{7}{9} \). Запишем формулу: \( AK^2 = AB^2 + BK^2 — 2 \cdot AB \cdot BK \cdot \cos B \). Подставим числа: \( AK^2 = 900 + 324 — 2 \cdot 30 \cdot 18 \cdot \frac{7}{9} \), что даёт \( AK^2 = 1224 — 840 = 384 \). Извлекая корень, получаем длину биссектрисы \( AK = 8 \sqrt{6} \) см.