ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 20.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\) (рис. 20.14), \(AB = 5\) см, \(AD = 7\) см, \(AA_1 = 12\) см. Найдите угол между:

1) прямой \(DC_1\) и плоскостью \(A_1 B_1 C_1\);

2) прямой \(B_1 D\) и плоскостью \(ABC\).

Вектор \(DC_1 = (5, 0, 12)\), нормаль к плоскости \(A_1 B_1 C_1\) равна \((0, 0, 1)\). Угол между прямой и плоскостью равен \(90^\circ — \theta\), где \(\cos \theta = \frac{12}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{12}{13}\). Тогда \(\tan \alpha = \frac{12}{5}\).

Вектор \(B_1 D = (-5, 7, -12)\), нормаль к плоскости \(ABC\) равна \((0, 0, 1)\). \(\cos \theta = \frac{|-12|}{\sqrt{(-5)^2 + 7^2 + (-12)^2}} = \frac{12}{\sqrt{218}}\). Тогда \(\tan \alpha = \frac{12}{\sqrt{218 — 144}} = \frac{12}{\sqrt{74}} = \frac{6 \sqrt{74}}{37}\).

Рассмотрим прямую \(DC_1\) и плоскость \(A_1 B_1 C_1\). Координаты точек: \(D(0,7,0)\), \(C_1(5,7,12)\). Вектор \(DC_1\) равен разности координат: \(DC_1 = (5 — 0, 7 — 7, 12 — 0) = (5, 0, 12)\). Плоскость \(A_1 B_1 C_1\) задаётся точками с одинаковой высотой \(z = 12\), значит её нормальный вектор направлен вдоль оси \(z\), то есть \(\vec{n} = (0, 0, 1)\).

Для нахождения угла между прямой и плоскостью нужно найти угол между вектором \(DC_1\) и нормалью к плоскости \(\vec{n}\), а затем вычесть его из \(90^\circ\), так как искомый угол — это угол между прямой и самой плоскостью, а не с нормалью. Скалярное произведение векторов даёт \(\vec{DC_1} \cdot \vec{n} = 5 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 12 \cdot 1 = 12\). Длина вектора \(DC_1\) равна \(\sqrt{5^2 + 0^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\), длина нормали равна 1. Тогда \(\cos \theta = \frac{12}{13}\), где \(\theta\) — угол между \(DC_1\) и \(\vec{n}\). Искомый угол \(\alpha = 90^\circ — \theta\), для которого \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos \theta}{\sqrt{1 — \cos^2 \theta}} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}\).

Теперь рассмотрим прямую \(B_1 D\) и плоскость \(ABC\). Координаты: \(B_1(5,0,12)\), \(D(0,7,0)\). Вектор \(B_1 D = (0 — 5, 7 — 0, 0 — 12) = (-5, 7, -12)\). Плоскость \(ABC\) лежит в \(z=0\), её нормаль \(\vec{n} = (0, 0, 1)\). Скалярное произведение \(\vec{B_1 D} \cdot \vec{n} = -12\), длина вектора \(B_1 D\) равна \(\sqrt{(-5)^2 + 7^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 49 + 144} = \sqrt{218}\), длина нормали 1. Тогда \(\cos \theta = \frac{|-12|}{\sqrt{218}} = \frac{12}{\sqrt{218}}\).

Искомый угол \(\alpha = 90^\circ — \theta\), и \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos \theta}{\sqrt{1 — \cos^2 \theta}} = \frac{12/\sqrt{218}}{\sqrt{1 — \frac{144}{218}}} = \frac{12/\sqrt{218}}{\sqrt{\frac{74}{218}}} = \frac{12}{\sqrt{74}} = \frac{6 \sqrt{74}}{37}\).