ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 20.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если они относятся как 1 : 2 : 2, а диагональ параллелепипеда равна 6 см.

Пусть \(a = x\), \(b = c = 2x\).

Диагональ параллелепипеда выражается формулой \(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\).

Подставляем: \(6^2 = x^2 + (2x)^2 + (2x)^2\).

Получаем: \(36 = x^2 + 4x^2 + 4x^2 = 9x^2\).

Отсюда \(x^2 = \frac{36}{9} = 4\), значит \(x = 2\).

Тогда \(a = 2\) см, \(b = 4\) см, \(c = 4\) см.

Пусть длины ребер прямоугольного параллелепипеда обозначены как \(a\), \(b\) и \(c\). Согласно условию, они находятся в отношении \(1 : 2 : 2\). Это значит, что если принять \(a = x\), то \(b\) и \(c\) будут равны \(2x\). Таким образом, мы можем выразить все три измерения через одну переменную \(x\): \(a = x\), \(b = 2x\), \(c = 2x\).

Диагональ параллелепипеда \(d\) связана с длинами ребер формулой \(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\). Подставляя наши выражения, получаем \(d^2 = x^2 + (2x)^2 + (2x)^2\). Раскроем скобки и возведём в квадрат: \(d^2 = x^2 + 4x^2 + 4x^2\). Сложив подобные члены, имеем \(d^2 = 9x^2\).

Известно, что диагональ равна 6 см, то есть \(d = 6\). Подставим это значение в уравнение: \(6^2 = 9x^2\), или \(36 = 9x^2\). Разделив обе части уравнения на 9, получаем \(x^2 = \frac{36}{9} = 4\). Извлекая корень, находим \(x = 2\). Следовательно, длины ребер равны \(a = 2\) см, \(b = 4\) см, \(c = 4\) см.