ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 20.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основание прямого параллелепипеда — ромб с острым углом \(\alpha\) и меньшей диагональю \(d\). Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Основание ромба с острым углом \(\alpha\) и меньшей диагональю \(d\). Половина большей диагонали равна \(d \cot \frac{\alpha}{2}\).

Высота боковой грани \(BB_1 = d \tan \beta\).

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту:

\(S = 4 \cdot d \cot \frac{\alpha}{2} \cdot d \tan \beta = \frac{2 d^2 \cot \frac{\alpha}{2} \tan \beta}{\sin \frac{\alpha}{2}}\).

Основание параллелепипеда — ромб с острым углом \(\alpha\) и меньшей диагональю \(d\). В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делятся пополам, поэтому половина большей диагонали равна \(d \cot \frac{\alpha}{2}\). Это связано с тем, что в ромбе угол между диагоналями равен \(90^\circ\), а отношение диагоналей выражается через угол \(\alpha\) и сторону, что приводит к формуле для половины большей диагонали через меньшую и угол.

Высота боковой грани параллелепипеда обозначена как \(BB_1\) и связана с углом \(\beta\), который образует большая диагональ с плоскостью основания. По определению тангенса угла \(\beta\) из треугольника \(BB_1D\) имеем соотношение \(\tan \beta = \frac{BB_1}{d}\), откуда высота равна \(BB_1 = d \tan \beta\). Это означает, что боковое ребро параллелепипеда пропорционально меньшей диагонали и зависит от угла наклона диагонали к основанию.

Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту. Периметр ромба равен \(4\) длинам стороны, а сторона связана с диагоналями через угол \(\alpha\). Используя формулу для стороны через половину диагонали, площадь боковой поверхности выражается как \(S = 4 \cdot d \cot \frac{\alpha}{2} \cdot d \tan \beta\). Упрощая, получаем \(S = \frac{2 d^{2} \cot \frac{\alpha}{2} \tan \beta}{\sin \frac{\alpha}{2}}\), что и является искомым выражением площади боковой поверхности параллелепипеда.