ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 20.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основание прямого параллелепипеда — ромб со стороной 6 см и углом 60°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали его основания. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Основание — ромб со стороной 6 см и углом 60°. Большая диагональ ромба равна \(6 \sqrt{3}\).

Меньшая диагональ параллелепипеда равна большой диагонали основания, значит \(d = 6 \sqrt{3}\).

Высота \(h\) параллелепипеда найдётся из прямоугольного треугольника с катетами 6 и \(h\):

\(d^2 = 6^2 + h^2\), значит \( (6 \sqrt{3})^2 = 36 + h^2\).

Отсюда \(108 = 36 + h^2\), значит \(h^2 = 72\), и \(h = 6 \sqrt{2}\).

Периметр основания \(P = 4 \times 6 = 24\).

Площадь боковой поверхности \(S = P \times h = 24 \times 6 \sqrt{2} = 144 \sqrt{2}\).

Основание параллелепипеда — ромб со стороной 6 см и углом 60°. Для начала найдём длины диагоналей ромба. Диагонали ромба вычисляются по формулам \(d_1 = a \sqrt{2(1 — \cos \theta)}\) и \(d_2 = a \sqrt{2(1 + \cos \theta)}\), где \(a = 6\) и \(\theta = 60^\circ\). Подставляя значения, получаем \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), значит \(d_1 = 6 \sqrt{2(1 — \frac{1}{2})} = 6 \sqrt{1} = 6\) см и \(d_2 = 6 \sqrt{2(1 + \frac{1}{2})} = 6 \sqrt{3}\) см. Таким образом, большая диагональ основания равна \(6 \sqrt{3}\) см.

Из условия задачи известно, что меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания, то есть \(d = 6 \sqrt{3}\). Меньшая диагональ параллелепипеда — это диагональ боковой грани, которая является прямоугольником с одной стороной равной стороне основания 6 см, а другой — высоте \(h\) параллелепипеда. Применим теорему Пифагора: \(d^2 = 6^2 + h^2\). Подставляя \(d = 6 \sqrt{3}\), получаем \((6 \sqrt{3})^2 = 36 + h^2\), или \(108 = 36 + h^2\). Отсюда \(h^2 = 72\), значит \(h = 6 \sqrt{2}\).

Для нахождения площади боковой поверхности нужно умножить периметр основания на высоту. Периметр ромба с длиной стороны 6 см равен \(P = 4 \times 6 = 24\) см. Площадь боковой поверхности равна \(S = P \times h = 24 \times 6 \sqrt{2} = 144 \sqrt{2}\) см². Таким образом, площадь боковой поверхности параллелепипеда равна \(144 \sqrt{2}\) см².