ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды MABCD является параллелограмм ABCD, диагональ BD которого равна 4 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания, а боковое ребро MA равно 8 см и образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите ребро MD.

Дано: диагональ BD = 4 см, боковое ребро MA = 8 см, угол между MA и основанием 45°, высота проходит через точку O — середину диагоналей.

В треугольнике AMO высота MO = \(8 \cdot \sin 45^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\) см.

Длина AO = \(8 \cdot \cos 45^\circ = 4\sqrt{2}\) см.

Поскольку O — середина диагонали BD, то OD = 2 см.

В треугольнике MOD по теореме Пифагора:

\(MD = \sqrt{MO^2 + OD^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{32 + 4} = \sqrt{36} = 6\) см.

Ответ: MD = 6 см.

Пусть точка O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. По свойству параллелограмма, диагонали пересекаются и делятся пополам, значит BD = 4 см, тогда BO = OD = 2 см. Это важно для дальнейших вычислений, так как точка O будет проекцией вершины пирамиды M на основание.

Дано боковое ребро MA = 8 см, которое образует с плоскостью основания угол 45°. Рассмотрим треугольник AMO, где точка O лежит на плоскости основания. В этом треугольнике угол между MA и AO равен 45°, следовательно, высота MO, проведённая из точки M перпендикулярно основанию, равна \(MO = MA \cdot \sin 45^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\) см. Аналогично, проекция ребра MA на основание AO равна \(AO = MA \cdot \cos 45^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\) см.

Теперь найдём длину ребра MD. Поскольку O — середина диагонали BD, OD = 2 см. Рассмотрим треугольник MOD, где MO — высота пирамиды, OD — половина диагонали основания. По теореме Пифагора длина ребра MD равна \(MD = \sqrt{MO^2 + OD^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{32 + 4} = \sqrt{36} = 6\) см. Таким образом, длина ребра MD равна 6 см.