ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна \(a\), а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\). Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

Площадь основания правильного треугольника с длиной стороны \(a\) равна \( \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).

Площадь боковой поверхности выражается через двугранный угол \(\alpha\) как \( \frac{a^2 \sqrt{3} \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \cos \alpha} \).

Итоговая формула площади полной поверхности: \( S_{п.н.} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{a^2 \sqrt{3} \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \cos \alpha} \).

1. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности, то есть \( S_{п.н.} = S_{осн.} + S_{бок.н.} \).

2. Основание — правильный треугольник со стороной \(a\). Его площадь вычисляется по формуле \( S_{осн.} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).

3. Площадь боковой поверхности состоит из трёх равных треугольников, каждый из которых имеет основание \(a\) и высоту, связанную с двугранным углом \(\alpha\).

4. Высота бокового треугольника выражается через угол \(\alpha\) и сторону основания. Для этого используем половину двугранного угла \(\frac{\alpha}{2}\).

5. Площадь одного бокового треугольника равна \( \frac{1}{2} \times a \times h \), где \(h = \frac{a \sqrt{3} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos \alpha} \).

6. Подставляя высоту, получаем площадь одного бокового треугольника \( S_{бок.} = \frac{a^2 \sqrt{3} \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{4 \cos \alpha} \).

7. Так как боковых треугольников три, общая площадь боковой поверхности \( S_{бок.н.} = 3 \times S_{бок.} = \frac{3 a^2 \sqrt{3} \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{4 \cos \alpha} \).

8. Упростим выражение: \( \frac{3 a^2 \sqrt{3} \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{4 \cos \alpha} = \frac{a^2 \sqrt{3} \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \cos \alpha} \).

9. Подставляем найденные площади в формулу полной поверхности:

\( S_{п.н.} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{a^2 \sqrt{3} \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \cos \alpha} \).

10. Итог: площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды с двугранным углом \(\alpha\) при ребре основания равна \( S_{п.н.} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{a^2 \sqrt{3} \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \cos \alpha} \).