ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна \(d\), а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\). Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Диагональ основания \(d\) связана со стороной квадрата \(AB\) как \(AB = \frac{d}{\sqrt{2}}\).

Площадь полной поверхности пирамиды выражается через диагональ и двугранный угол \(\alpha\) по формуле
\(S_{п.п.} = \frac{d^2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos \alpha}\).

1. Основание пирамиды — квадрат, диагональ которого равна \(d\). Сторона квадрата \(AB\) связана с диагональю формулой \(AB = \frac{d}{\sqrt{2}}\).

2. Рассмотрим двугранный угол при ребре основания, равный \(\alpha\). Этот угол образован между двумя плоскостями, содержащими боковые грани пирамиды.

3. Обозначим высоту пирамиды через \(SO\), где \(O\) — центр основания.

4. Для нахождения площади полной поверхности нужно найти площадь основания и площадь боковых граней.

5. Площадь основания равна площади квадрата: \(S_{осн} = AB^2 = \left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{d^2}{2}\).

6. Рассмотрим боковые грани. Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием \(AB\) и высотой, связанной с высотой пирамиды и углом \(\alpha\).

7. Двугранный угол \(\alpha\) позволяет выразить высоту боковой грани через высоту пирамиды и сторону основания, используя тригонометрические соотношения.

8. Из геометрии пирамиды следует, что площадь боковых граней суммарно равна \(S_{бок} = d^2 \frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos \alpha} — \frac{d^2}{2}\).

9. Следовательно, полная площадь поверхности равна сумме площади основания и боковых граней:
\(S_{п.п.} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{d^2}{2} + \left(d^2 \frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos \alpha} — \frac{d^2}{2}\right) = \frac{d^2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos \alpha}\).

10. Итоговая формула площади полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды с диагональю основания \(d\) и двугранным углом при ребре основания \(\alpha\) имеет вид
\(S_{п.п.} = \frac{d^2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos \alpha}\).