ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды \(DABC\) является треугольник \(ABC\) такой, что \(\angle ABC = 120^\circ\), \(AB = BC\). Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол 45° и равно 8 см. Найдите площадь основания пирамиды.

Высота пирамиды \(DO = 8 \cos 45^\circ = 4 \sqrt{2}\).

Проекция бокового ребра на плоскость основания \(OC = 8 \sin 45^\circ = 4 \sqrt{2}\).

В треугольнике \(ABC\) с углом \(120^\circ\) при \(B\) и сторонами \(AB = BC = x\) по теореме косинусов:

\(AC^2 = x^2 + x^2 — 2 x^2 \cos 120^\circ = 2 x^2 + x^2 = 3 x^2\).

В треугольнике \(OBC\) по теореме косинусов:

\(OC^2 = OB^2 + BC^2 — 2 OB \cdot BC \cos 120^\circ\).

Подставляя значения:

\(128 = 2 x^2 + 2 x^2 \cdot \frac{1}{2} = 3 x^2\), откуда \(x^2 = \frac{128}{3}\).

Площадь основания:

\(S_{ABC} = \frac{1}{2} x \cdot x \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} x^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{128}{3} = 8 \sqrt{3}\).

1. В условии дана правильная треугольная пирамида, у которой боковые ребра \(DA = DB = DC = 8\) образуют с плоскостью основания угол \(45^\circ\). Чтобы найти высоту пирамиды \(DO\), опущенную из вершины \(D\) на центр основания \(O\), используем тригонометрию. Высота — это проекция бокового ребра на вертикальную ось, поэтому \(DO = 8 \cos 45^\circ\). Так как \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем \(DO = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2}\). Аналогично, проекция бокового ребра на плоскость основания, например \(OC\), равна \(OC = 8 \sin 45^\circ = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2}\). Это важно, так как \(OC\) является одной из сторон треугольника основания.

2. Рассмотрим треугольник основания \(ABC\). Из условия известно, что углы при вершинах основания равны \(120^\circ\), а стороны \(AB\) и \(BC\) равны \(x\). По теореме косинусов длина стороны \(AC\) вычисляется как \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ\). Подставляя значения, получаем \(AC^2 = x^2 + x^2 — 2 x^2 \cos 120^\circ = 2 x^2 — 2 x^2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 2 x^2 + x^2 = 3 x^2\). Таким образом, \(AC = \sqrt{3} x\).

3. Теперь рассмотрим треугольник \(OBC\), где \(O\) — центр основания. В этом треугольнике стороны \(OB\) и \(OC\) — проекции боковых ребер, равные \(4 \sqrt{2}\), а сторона \(BC = x\). Применяя теорему косинусов, запишем уравнение для \(OC^2\): \(OC^2 = OB^2 + BC^2 — 2 \cdot OB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ\). Подставляя значения, получаем \(128 = (4 \sqrt{2})^2 + x^2 — 2 \times 4 \sqrt{2} \times x \times \left(-\frac{1}{2}\right)\). Так как \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), выражение упрощается до \(128 = 32 + x^2 + 4 \sqrt{2} x\). Решая это уравнение относительно \(x\), получаем \(x^2 = \frac{128}{3}\).

4. Для нахождения площади треугольника основания \(ABC\) используем формулу площади через две стороны и угол между ними: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin 120^\circ\). Подставляя \(AB = BC = x\) и \(\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), имеем \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \times x \times x \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2\). Подставляя найденное значение \(x^2 = \frac{128}{3}\), получаем \(S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{128}{3} = 8 \sqrt{3}\). Это и есть площадь основания пирамиды.