ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см, а все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 30°. Найдите:

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

2) высоту пирамиды.

1) Основание пирамиды — треугольник с сторонами 5, 12 и 13 см, который прямоугольный, так как \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\).

Найдём \(OK\) — проекцию вершины \(D\) на основание \(BC\):

\(OK = \frac{CD + BC — DC}{2} = \frac{5 + 12 — 13}{2} = 2 \text{ см}\).

Косинус угла между \(DO\) и \(OK\):

\(\cos \angle DKO = \frac{OK}{DK} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{DK}\),

откуда

\(DK = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ см}\).

Площадь боковой поверхности равна половине периметра основания, умноженного на высоту боковой грани:

\(S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot DK = \frac{1}{2} (5 + 12 + 13) \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3} \text{ см}^2\).

2) Угол между \(DO\) и плоскостью основания равен 30°, значит:

\(DO = \frac{1}{2} DK = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}\).

Ответ:

1) \(20\sqrt{3} \text{ см}^2\)

2) \(\frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}\)

1) Основание пирамиды — треугольник с длинами сторон 5 см, 12 см и 13 см. Сначала проверим, является ли этот треугольник прямоугольным. Для этого используем теорему Пифагора: если сумма квадратов двух меньших сторон равна квадрату третьей стороны, то треугольник прямоугольный. Вычисляем: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\), а \(13^2 = 169\). Следовательно, треугольник прямоугольный, и сторона 13 см — гипотенуза.

Для нахождения площади боковой поверхности нужно определить высоту боковых граней пирамиды. Рассмотрим проекцию точки \(D\) на плоскость основания. Обозначим точку пересечения высоты \(DO\) с основанием как \(K\). По условию двугранные углы при рёбрах основания равны 30°. Это значит, что угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 30°.

Найдём длину отрезка \(OK\), который является проекцией высоты боковой грани на основание. По формуле для медианы в треугольнике \(BCD\):

\(OK = \frac{CD + BC — DC}{2} = \frac{5 + 12 — 13}{2} = 2 \text{ см}\).

Далее, используя косинус угла между высотой боковой грани и её проекцией на основание, имеем:

\(\cos \angle DKO = \frac{OK}{DK} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Отсюда выразим \(DK\):

\(DK = \frac{OK}{\cos \angle DKO} = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ см}\).

Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани:

\(S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot DK\),

где периметр основания

\(P = 5 + 12 + 13 = 30 \text{ см}\).

Тогда

\(S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = 15 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3} \text{ см}^2\).

2) Для нахождения высоты пирамиды \(DO\) используем угол между боковой гранью и плоскостью основания, который равен 30°. Высота пирамиды — это проекция боковой высоты на перпендикуляр к основанию, поэтому:

\(DO = DK \sin 30^\circ\).

Так как \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), получаем:

\(DO = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}\).

Ответ:

1) \(20\sqrt{3} \text{ см}^2\)

2) \(\frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}\)