ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 4 см и 16 см, а все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 60°. Найдите:
1) площадь боковой поверхности пирамиды;
2) высоту пирамиды.

Основание — равнобокая трапеция с основаниями 4 см и 16 см, боковые стороны по 10 см. Периметр основания \(P = 4 + 16 + 10 + 10 = 40\) см.

Апофема боковой поверхности \(l\) связана с двугранным углом 60°, \(l = 8\) см. Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле \(S_{\text{бок}} = \frac{P \cdot l}{2} = \frac{40 \cdot 8}{2} = 160\) см².

Высота пирамиды \(h\) найдена из треугольника с углом 60°: \(h = l \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}\) см.

1) Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды сначала нужно понять, что основание пирамиды — равнобокая трапеция с основаниями 4 см и 16 см, а боковые стороны равны 10 см. Периметр основания \(P\) равен сумме всех сторон: \(4 + 16 + 10 + 10 = 40\) см. Чтобы найти площадь боковой поверхности, нам необходимо знать апофему пирамиды — высоту боковой грани, которая образует двугранный угол с основанием равный 60°. Апофема — это высота боковой грани, проведённая от вершины пирамиды к середине ребра основания.

Площадь боковой поверхности пирамиды находится по формуле \(S_{\text{бок}} = \frac{P \cdot l}{2}\), где \(l\) — апофема. В условии задачи, используя двугранный угол 60°, апофема вычисляется как 8 см. Подставляя значения, получаем \(S_{\text{бок}} = \frac{40 \cdot 8}{2} = 160\) см². Таким образом, площадь боковой поверхности равна 160 см².

2) Для нахождения высоты пирамиды \(h\) рассмотрим треугольник, образованный высотой \(h\), апофемой \(l = 8\) см и углом между ними 60°. Поскольку двугранный угол между боковой гранью и основанием равен 60°, то высота пирамиды связана с апофемой через синус этого угла: \(\sin 60^\circ = \frac{h}{l}\). Подставляя значения, получаем \(h = l \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}\) см. Это и есть высота пирамиды.

Таким образом, мы последовательно нашли сначала площадь боковой поверхности, используя периметр основания и апофему, а затем высоту пирамиды, используя связь между апофемой и высотой через угол 60°, что соответствует условию задачи. Итоговые результаты: площадь боковой поверхности равна 160 см², а высота пирамиды — \(4 \sqrt{3}\) см.