ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 4 см и 12 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны плоско-

сти основания, плоскость ещё одной грани, проходящей через

большую сторону основания, образует угол 45° с плоскостью осно-

вания. Найдите:

1) высоту пирамиды;

2) площадь боковой поверхности пирамиды.

Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 4 и 12 см. Высота \( SO \) найдена из условия угла 45° между гранью и основанием: \( SB = 4 \) см.

Площадь боковой грани \( SAB \): \( S_{SAB} = \frac{1}{2} \times 12 \times 4 = 24 \) см².

Площадь боковой грани \( SBC \): \( S_{SBC} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \) см².

Длина \( SC = 4 \sqrt{2} \) см, площадь грани \( SCD \): \( S_{SCD} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \sqrt{2} = 8 \sqrt{2} \) см².

Площадь грани \( SDO \): \( S_{SDO} = \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{10} \times 4 = 8 \sqrt{10} \) см².

Общая площадь боковой поверхности:
\( S_{\text{бок}} = 24 + 8 + 8 \sqrt{10} + 24 \sqrt{2} = 32 + 8 \sqrt{10} + 24 \sqrt{2} \) см².

1) Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 4 см и 12 см. Обозначим вершину пирамиды \( S \), а основание — \( ABCD \), где \( AB = 12 \) см, \( BC = 4 \) см. Из условия две боковые грани, прилегающие к сторонам длиной 4 см, перпендикулярны плоскости основания. Значит высота пирамиды \( SO \) лежит на линии, перпендикулярной основанию и проходит через центр основания \( O \). Грань, проходящая через сторону \( AB = 12 \) см, образует с основанием угол 45°. Рассмотрим треугольник \( S B C \), где \( BC = 4 \) см — сторона основания, а \( SB \) — высота боковой грани. По определению угла между плоскостями угол 45° означает, что высота \( SO \) связана с длиной ребра \( SB \) так, что \( \tan 45^\circ = \frac{SO}{OB} \), где \( OB = 2 \) см — половина стороны 4 см. Поскольку \( \tan 45^\circ = 1 \), то \( SO = OB = 4 \) см.

2) Теперь рассчитаем площади боковых граней. Первая боковая грань \( SAB \) — треугольник с основанием \( AB = 12 \) см и высотой \( SB = 4 \) см, так как грань перпендикулярна основанию. Площадь этой грани равна \( S_{SAB} = \frac{1}{2} \times 12 \times 4 = 24 \) см². Вторая боковая грань \( SBC \) — треугольник с основанием \( BC = 4 \) см и высотой \( SB = 4 \) см, площадь равна \( S_{SBC} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \) см². Третья боковая грань \( SCD \) имеет основание \( CD = 4 \) см, но высоту нужно найти. Рассчитаем длину ребра \( SC \), используя теорему Пифагора в треугольнике \( SOC \), где \( OC = 6 \) см (половина основания 12 см), \( SO = 4 \) см: \( SC = \sqrt{SO^2 + OC^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13} \) см. Площадь грани \( SCD \) равна \( S_{SCD} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 \sqrt{13} = 4 \sqrt{13} \) см².

3) Четвёртая боковая грань \( SDA \) аналогична третьей. Её площадь равна \( S_{SDA} = 4 \sqrt{13} \) см². Суммируем площади всех боковых граней:
\( S_{\text{бок}} = 24 + 8 + 4 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13} = 32 + 8 \sqrt{13} \) см². Высота пирамиды равна \( SO = 4 \) см. Таким образом, ответ: высота \( 4 \) см, площадь боковой поверхности \( 32 + 8 \sqrt{13} \) см².