ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является квадрат со стороной 12 см. Пло-

скости двух боковых граней перпендикулярны плоскости основа-

ния. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если её вы-

сота равна 5 см.

Основание — квадрат со стороной 12, площадь основания \( S_{\text{осн}} = 12^2 = 144 \).

Площадь двух боковых граней, перпендикулярных основанию, \( S_{SB} = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30 \), всего \( 2 \times 30 = 60 \).

Длина бокового ребра \( SD = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = 13 \).

Площадь боковой грани \( S_{SCD} = \frac{1}{2} \times 13 \times 12 = 78 \), всего \( 2 \times 78 = 156 \).

Полная площадь поверхности \( S_{\text{полн}} = 144 + 60 + 156 = 360 \).

1. Основание пирамиды представляет собой квадрат со стороной 12. Площадь квадрата вычисляется по формуле \( S = a^{2} \), где \( a \) — длина стороны. В нашем случае \( a = 12 \), значит площадь основания равна \( S_{\text{осн}} = 12^{2} = 144 \). Эта площадь является основой для дальнейших расчетов полной площади поверхности пирамиды.

2. Две боковые грани пирамиды, которые перпендикулярны плоскости основания, имеют форму прямоугольных треугольников с катетами 12 и 5. Высота пирамиды равна 5, а сторона основания — 12. Площадь каждого такого треугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \). Подставляя значения, получаем \( S_{SB} = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30 \). Так как таких граней две, суммарная площадь равна \( 2 \times 30 = 60 \).

3. Для вычисления площади остальных двух боковых граней необходимо найти длину бокового ребра \( SD \). Это ребро является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 12 и 5, поэтому по теореме Пифагора длина ребра равна \( SD = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \). Площадь каждой из этих граней равна \( S_{SCD} = \frac{1}{2} \times 13 \times 12 = 78 \). Поскольку таких граней две, суммарная площадь равна \( 2 \times 78 = 156 \).

4. Полная площадь поверхности пирамиды — это сумма площади основания и площадей всех боковых граней. Складываем найденные значения: \( S_{\text{полн}} = 144 + 60 + 156 = 360 \). Таким образом, полная площадь поверхности пирамиды равна 360.