ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскости боковых граней АВМ и СВМ пирамиды МАВС перпен-

дикулярны плоскости основания. Найдите площадь полной поверх-

ности пирамиды, если АВ = ВС = 17 см, АС = 16 см, МВ = 20 см.

Площадь основания вычисляем по формуле Герона: \(p = \frac{17 + 17 + 16}{2} = 25\), \(S_{осн} = \sqrt{25 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 9} = 120\).

Площадь боковой грани \(ABM\): \(S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 20 = 170\).

Площадь боковой грани \(CBM\) равна \(S_{CBM} = 170\).

Длина \(AM = \sqrt{17^2 + 20^2} = 25\), площадь грани \(AMC\): \(S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 25 = 200\).

Полная площадь поверхности: \(S_{полн} = 120 + 170 \cdot 2 + 200 = 660\).

1. Для нахождения площади основания треугольника \(ABC\) со сторонами \(AB = 17\), \(BC = 17\), \(AC = 16\) сначала вычисляем полупериметр по формуле \(p = \frac{17 + 17 + 16}{2} = 25\). Далее используем формулу Герона: \(S_{осн} = \sqrt{p(p — AB)(p — BC)(p — AC)} = \sqrt{25 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 9} = \sqrt{14400} = 120\). Это даёт площадь основания пирамиды.

2. Поскольку боковые грани \(ABM\) и \(CBM\) перпендикулярны плоскости основания, высота этих треугольников равна длине ребра \(MB = 20\). Площадь треугольника \(ABM\) равна половине произведения основания \(AB = 17\) на высоту: \(S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 20 = 170\). Аналогично для грани \(CBM\), где основание \(BC = 17\), площадь \(S_{CBM} = 170\).

3. Для вычисления площади боковой грани \(AMC\) нужно найти длину ребра \(AM\). С учётом, что \(ABM\) и \(CBM\) перпендикулярны основанию, точка \(M\) проецируется на точку \(B\), и по теореме Пифагора \(AM = \sqrt{AB^{2} + MB^{2}} = \sqrt{17^{2} + 20^{2}} = \sqrt{289 + 400} = \sqrt{689} \approx 25\). Площадь треугольника \(AMC\) равна половине произведения основания \(AC = 16\) на высоту \(AM\): \(S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 25 = 200\).

4. Полная площадь поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площадей трёх боковых граней: \(S_{полн} = S_{осн} + S_{ABM} + S_{CBM} + S_{AMC} = 120 + 170 + 170 + 200 = 660\).

5. Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды равна 660 квадратных сантиметров.