ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскости боковых граней МАВ и МАС пирамиды МАВС перпен-

дикулярны плоскости основания. Найдите площадь грани МВС, если 

АВ = 13 см, ВС = 14 см, АС = 15 см, МА = 9 см.

Пусть \(S_{MBC}\) — площадь грани \(MBC\).

Так как плоскости \(MAB\) и \(MAC\) перпендикулярны плоскости основания \(ABC\), то высота пирамиды \(M\) опущена на точку \(A\) и равна \(MA = 9\) см.

Площадь треугольника \(ABC\) найдём по формуле Герона. Полупериметр:

\(p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21\).

Площадь:

\(S_{ABC} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84\) см².

Площадь грани \(MBC\) равна половине произведения основания \(BC = 14\) см на высоту, которая равна длине отрезка из \(M\) перпендикулярного к \(BC\).

Так как \(M\) находится на высоте \(9\) см над плоскостью основания, площадь грани \(MBC\) равна:

\(S_{MBC} = \frac{1}{2} \times BC \times MA = \frac{1}{2} \times 14 \times 15 = 105\) см².

Ответ: площадь грани \(MBC\) равна \(105\) см².

1. Для нахождения площади грани \(MBC\) сначала рассмотрим треугольник основания \(ABC\). Длины сторон даны: \(AB = 13\) см, \(BC = 14\) см, \(AC = 15\) см. Чтобы найти площадь треугольника \(ABC\), применим формулу Герона. Сначала вычислим полупериметр \(p\) по формуле \(p = \frac{AB + BC + AC}{2}\). Подставляя значения, получаем \(p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\) см.

2. Далее подставим значения в формулу Герона для площади треугольника: \(S_{ABC} = \sqrt{p(p — AB)(p — BC)(p — AC)}\). Это будет \(S_{ABC} = \sqrt{21(21 — 13)(21 — 14)(21 — 15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}\). Вычисляя подкоренное выражение, получаем \(21 \times 8 = 168\), \(168 \times 7 = 1176\), \(1176 \times 6 = 7056\). Значит, \(S_{ABC} = \sqrt{7056} = 84\) см². Таким образом, площадь основания равна 84 см².

3. Теперь рассмотрим пирамиду \(MABC\). Из условия известно, что плоскости боковых граней \(MAB\) и \(MAC\) перпендикулярны плоскости основания \(ABC\). Это означает, что высота пирамиды, опущенная из вершины \(M\) на плоскость основания, падает именно в точку \(A\). Длина этой высоты равна \(MA = 9\) см. Поскольку боковые грани перпендикулярны основанию, высота пирамиды является перпендикуляром к плоскости основания.

4. Площадь грани \(MBC\) — это площадь треугольника с основанием \(BC = 14\) см и высотой, равной длине отрезка из вершины \(M\), перпендикулярного к стороне \(BC\). В данном случае, из-за перпендикулярности плоскостей, высота грани \(MBC\) равна длине ребра \(MA = 9\) см. Тогда площадь грани \(MBC\) вычисляется по формуле площади треугольника: \(S_{MBC} = \frac{1}{2} \times BC \times MA = \frac{1}{2} \times 14 \times 15\).

5. Выполнив умножение, получаем \(S_{MBC} = \frac{1}{2} \times 210 = 105\) см². Таким образом, площадь грани \(MBC\) равна 105 см². Это и есть искомое значение площади боковой грани пирамиды.