ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды \(MABCD\) равна 8 см, а высота пирамиды — 12 см.

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер \(MA\) и \(MD\) параллельно высоте пирамиды.

2) Найдите площадь сечения.

1. \( S_{ \triangle B} = \frac{1}{2} DB \cdot CD \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \sin \alpha \Rightarrow \)
\(\Rightarrow \angle АSB = 2 \arcsin \frac{1}{2 \cos \frac{\alpha}{2}} \)

1. Рассмотрим площадь треугольника \( \triangle B \), которую можно выразить через две стороны и угол между ними. Пусть стороны \( DB \) и \( CD \) образуют угол \( \alpha \). Тогда площадь треугольника равна половине произведения этих сторон на синус угла между ними, то есть

\[
S_{\triangle B} = \frac{1}{2} DB \cdot CD \cdot \sin \alpha.
\]

В данном случае, если \( DB = 1 \) и \( CD = 1 \), то формула упрощается до

\[
S_{\triangle B} = \frac{1}{2} \sin \alpha.
\]

Это классическая формула площади треугольника через две стороны и угол между ними, которая часто используется в тригонометрии и геометрии.

Далее, для нахождения угла \( \angle АSB \) используется обратная тригонометрическая функция арксинуса. В выражении

\[
\angle АSB = 2 \arcsin \frac{1}{2 \cos \frac{\alpha}{2}},
\]

величина под арксинусом связана с половинным углом \( \frac{\alpha}{2} \). Здесь применяется формула двойного угла и свойства косинуса половинного угла, что позволяет выразить угол \( \angle АSB \) через угол \( \alpha \).

Таким образом, формула показывает, что угол \( \angle АSB \) равен удвоенному значению арксинуса дроби, в которой числитель 1, а знаменатель — удвоенный косинус половинного угла \( \alpha \). Это важно для точного вычисления углов в различных геометрических построениях, особенно когда угол \( \alpha \) известен, а требуется найти связанные с ним углы через тригонометрические функции.