ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Точки М и К — середины рёбер BC и BD правильного тетраэдра DABC. Найдите угол между прямыми АК и DM.

Точки \(M\) и \(K\) — середины рёбер \(BC\) и \(BD\) правильного тетраэдра \(DABC\).

Координаты: \(B(0,0,0)\), \(C(1,0,0)\), \(D\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)\), \(A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right)\).

Точки середины: \(M\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)\), \(K\left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0\right)\).

Векторы: \(\overrightarrow{AK} = \left(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{12}, -\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\), \(\overrightarrow{DM} = \left(0, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)\).

Косинус угла: \(\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{DM}}{|\overrightarrow{AK}| \cdot |\overrightarrow{DM}|} = \frac{-\frac{1}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{6}\).

Ответ: угол между прямыми \(AK\) и \(DM\) равен \(\arccos \left(-\frac{1}{6}\right)\).

1. Рассмотрим правильный тетраэдр \(DABC\) с ребром длины 1. Для удобства выберем систему координат так, чтобы вершина \(B\) была в начале координат: \(B(0,0,0)\), а ребро \(BC\) лежало на оси \(x\), тогда \(C(1,0,0)\). Вершина \(D\) лежит в плоскости \(xy\) и образует равносторонний треугольник с \(B\) и \(C\), поэтому её координаты \(D\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)\). Вершина \(A\) находится над плоскостью \(BCD\) и имеет координаты \(A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right)\), что соответствует высоте правильного тетраэдра.

2. Точки \(M\) и \(K\) — середины рёбер \(BC\) и \(BD\) соответственно. Координаты точки \(M\) находятся как среднее арифметическое координат точек \(B\) и \(C\): \(M\left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)\). Аналогично, точка \(K\) — середина \(BD\), значит \(K\left(\frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{0+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0\right)\).

3. Для нахождения угла между прямыми \(AK\) и \(DM\) нужно найти векторы этих прямых: \(\overrightarrow{AK} = K — A = \left(\frac{1}{4} — \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4} — \frac{\sqrt{3}}{6}, 0 — \frac{\sqrt{6}}{3}\right) = \left(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{12}, -\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\), и \(\overrightarrow{DM} = M — D = \left(\frac{1}{2} — \frac{1}{2}, 0 — \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 — 0\right) = \left(0, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)\).

4. Скалярное произведение векторов равно \(\overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{DM} = \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot 0 + \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right) \cdot 0 = -\frac{3}{24} = -\frac{1}{8}\). Длины векторов вычисляются как \( |\overrightarrow{AK}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{12}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{3}{144} + \frac{6}{9}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), и \( |\overrightarrow{DM}| = \sqrt{0^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 0^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

5. Косинус угла между прямыми вычисляется по формуле \(\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{DM}}{|\overrightarrow{AK}| \cdot |\overrightarrow{DM}|} = \frac{-\frac{1}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{-\frac{1}{8}}{\frac{3}{4}} = -\frac{1}{6}\). Следовательно, угол между прямыми \(AK\) и \(DM\) равен \(\arccos \left(-\frac{1}{6}\right)\).